Seja G=Z12 e H=0,4,8 subseteq Z12. Determine o índice [Z12: H. Liste todas as classes laterais à esquerda de H em G.

Passo 1

O enunciado dá o grupo abeliano G = ℤ₁₂ com operação de adição módulo 12 e o subgrupo H = {0,4,8}. A tarefa é encontrar o índice [ℤ₁₂ : H] e listar todas as classes laterais à esquerda de H em G. Vamos usar a teoria de subgrupos finitos, cosets e índice.

Passo 2

Em grupos finitos, o índice de um subgrupo H em G é dado por |G|/|H|. Aqui |G| = 12 e, contando os elementos de H = {0,4,8}, temos |H| = 3. Portanto,
índice = |G|/|H| = 12/3 = 4.

Passo 3

Para listar as classes laterais à esquerda, usamos a definição de coset: para qualquer a em G, a + H = {a + h ∣ h ∈ H}, sempre tomado módulo 12. Como G é abeliano, as classes à esquerda coincidem com as classes à direita.
Basta escolher representantes em G que cubram todas as classes. Podemos tomar a = 0,1,2,3, pois teremos 4 classes distintas:
0 + H = {0,4,8}
1 + H = {1,5,9}
2 + H = {2,6,10}
3 + H = {3,7,11}

Resposta

O índice é [Z12:H]=4. As classes laterais à esquerda são:
0,4,8,1,5,9,2,6,10,3,7,11.

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