Seja
. Determine o índice de
no grupo
, isto é, calcule
. Descreva também as classes laterais de
em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos o subgrupo H = 3ℤ no grupo (ℤ,+), ou seja, H é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de 3. A tarefa é achar o índice [ℤ : H] e listar as classes laterais de H em ℤ.
Passo 2
Para calcular o índice [ℤ : H] usamos que esse índice é o número de classes laterais de H em ℤ. Como H = 3ℤ, as classes laterais correspondem às classes de congruência módulo 3.
Em ℤ, dois inteiros a e b estão na mesma classe lateral se e somente se a–b ∈ H, ou seja, se a≡b (mod 3). Logo, as únicas classes distintas são as classes de resto 0, 1 e 2 módulo 3.
Em ℤ, dois inteiros a e b estão na mesma classe lateral se e somente se a–b ∈ H, ou seja, se a≡b (mod 3). Logo, as únicas classes distintas são as classes de resto 0, 1 e 2 módulo 3.
Passo 3
Portanto, existem 3 classes laterais, o que significa que [ℤ : H] = 3. As classes são:
Para cada r em {0,1,2}, a classe lateral r + H é o conjunto {r + 3k ∣ k ∈ ℤ}. Assim obtemos as três classes: 0 + H, 1 + H e 2 + H.
Para cada r em {0,1,2}, a classe lateral r + H é o conjunto {r + 3k ∣ k ∈ ℤ}. Assim obtemos as três classes: 0 + H, 1 + H e 2 + H.
Resposta
O índice é [ℤ : 3ℤ] = 3. As classes laterais são:
$$2 + H = {2+3k\mid k\in\mathbb{Z}}.
$$