( 3,0 pts ) Resolva as integrais.
integral 4x^3-4 x^2+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 4x^3-4x^2+4x , dx. Aqui, vamos usar o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais (quando temos polinômios no numerador e no denominador). Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 4x^2 + 4x:
x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2
Então, nossa integral fica:
integral 4x(x - 2)^2 , dx

Passo 3

Agora, aplicamos frações parciais para decompor a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
4x(x - 2)^2 = Ax + Bx - 2 + C(x - 2)^2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x - 2)^2 para eliminar os denominadores:
4 = A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx
Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C substituindo valores estratégicos de x.

Passo 5

Escolha x = 0:
4 = A(0 - 2)^2 + B cdot 0 cdot (0 - 2) + C cdot 0 4 = 4A A = 1
Escolha x = 2:
4 = A(2 - 2)^2 + B cdot 2 cdot (2 - 2) + C cdot 2 4 = 0 + 0 + 2C C = 2
Para encontrar B, podemos expandir a equação original:
4 = (1)(x^2 - 4x + 4) + Bx(x - 2) + 2x 4 = x^2 - 4x + 4 + Bx^2 - 2Bx + 2x
Agrupando os termos semelhantes:
(1 + B)x^2 + (-4 - 2B + 2)x + 4 = 4
Igualando os coeficientes:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1

Passo 6

Agora que temos A = 1, B = -1 e C = 2, podemos reescrever a fração:
4x(x - 2)^2 = 1x - 1x - 2 + 2(x - 2)^2

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx = ln|x| + C
integral 1x - 2 , dx = ln|x - 2| + C
integral 2(x - 2)^2 , dx = -2x - 2 + C

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|x| - ln|x - 2| - 2x - 2 + C

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