(8 pts) Resolva a integral dupla
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal aqui é trocar a ordem de integração para facilitar a antiderivada, e depois integrar em
ou em
conforme ficar mais simples.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração
Para inverter a ordem, note que, fixado
, a condição
vira
. Como
originalmente vai de
até
, na nova ordem temos
Logo
Passo 3
Dentro dessa nova ordem, integramos primeiro em
:
Fazendo a mudança
, temos
, ou seja
. Quando
,
, e quando
,
. Assim
Multiplicando por
dá
Portanto a integral torna-se
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Para a primeira, façamos
,
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim
E
Subtraindo, obtemos