(8 pts) Resolva a integral dupla
integral0^5 integral2 x^10 y^4 e^x y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^5integral2x^10y^4e^x y^2,dy,dx
O conteúdo principal aqui é trocar a ordem de integração para facilitar a antiderivada, e depois integrar em x ou em y conforme ficar mais simples.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração
R=(x,y)mid 0<= x<= 5,;2x<= y<= 10
Para inverter a ordem, note que, fixado y, a condição 2x<= y vira 0<= x<= y/2. Como y originalmente vai de min(2x)=0 até 10, na nova ordem temos
0<= y<= 10, 0<= x<= y2
Logo
integral0^5integral2x^10y^4e^x y^2,dy,dx = integral0^10integral0^y/2y^4e^x y^2,dx,dy

Passo 3

Dentro dessa nova ordem, integramos primeiro em x:
integral0^y/2y^4e^x y^2,dx =y^4integral0^y/2e^x y^2,dx
Fazendo a mudança u=x y^2, temos du=y^2dx, ou seja dx=tfracduy^2. Quando x=0, u=0, e quando x=y/2, u=tfracy^32. Assim
integral0^y/2e^x y^2,dx =integral0^tfracy^32e^u,duy^2 =1y^2l[e^ur]0^tfracy^32 =1y^2l(e^tfracy^32-1r)
Multiplicando por y^4
y^4integral0^y/2e^x y^2,dx =y^4cdot1y^2l(e^tfracy^32-1r) =y^2l(e^tfracy^32-1r)
Portanto a integral torna-se
integral0^10y^2l(e^tfracy^32-1r),dy

Passo 4

Separamos em duas integrais:
integral0^10y^2e^tfracy^32,dy ;-; integral0^10y^2,dy
Para a primeira, façamos v=tfracy^32, dv=tfrac32y^2dy, logo y^2dy=tfrac23dv. Quando y=0, v=0; quando y=10, v=500. Assim
integral0^10y^2e^tfracy^32,dy =23integral0^500e^v,dv =23l[e^vr]0^500 =23l(e^500-1r)
E
integral0^10y^2,dy =[y^33]0^10 =10^33 =10003
Subtraindo, obtemos
integral0^10y^2l(e^tfracy^32-1r),dy =23(e^500-1);-;10003 =2e^500-2-10003 =2e^500-10023

Resposta

2e^500-10023

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