(8 pts) Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo cone
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica entre o paraboloide
e o cone
. O conteúdo aqui é a troca para coordenadas cilíndricas, em que usamos
e o elemento de volume
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
, de modo que as superfícies viram
A região está entre essas superfícies sempre que
. Para encontrar a projeção no plano
, resolvemos
(descartando a raiz negativa). Logo, o domínio em
é
e em
é
.
Passo 3
Montamos o integral de volume
Integrando primeiro em
substitui pelo intervalo
:
Passo 4
Calculamos o integral em
:
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.