(8 pts) Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide
z=x^2+y^2
e pelo cone
z=2-raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e o cone z = 2 - raizx^2 + y^2. O conteúdo aqui é a troca para coordenadas cilíndricas, em que usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos r = raizx^2+y^2, de modo que as superfícies viram
zparaboloide = r^2,
zcone = 2 - r
A região está entre essas superfícies sempre que r^2 <= 2 - r. Para encontrar a projeção no plano xy, resolvemos
r^2 = 2 - r Longrightarrow r^2 + r - 2 = 0 Longrightarrow r = 1
(descartando a raiz negativa). Logo, o domínio em r é 0<= r<=1 e em theta é 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Montamos o integral de volume
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=r^2^,2 - r r,dz,dr,dtheta
Integrando primeiro em z substitui pelo intervalo [r^2,,2-r]:
V = integral0^2piintegral0^1l[(2 - r) - r^2r],r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos o integral em r:
integral0^1(2 - r - r^2),r,dr = integral0^1l(2r - r^2 - r^3r)dr = l[r^2 - tfracr^33 - tfracr^44r]0^1 = 1 - tfrac13 - tfrac14 = tfrac512

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
V = integral0^2pi tfrac512,dtheta = tfrac512cdot 2pi = tfrac5pi6

Resposta

O volume do sólido é 5pi6.

Exercícios relacionados