Prove que todo subgrupo de um grupo abeliano é normal.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos provar que, se G é um grupo abeliano e H é um subgrupo de G, então H é normal em G. O que vamos usar é a definição de normalidade de subgrupos e a propriedade de comutatividade dos grupos abelianos.

Passo 2

Definição de subgrupo normal: Dizemos que H é normal em G (escrevemos H triang<=<=ft G) se, para todo g in G e todo h in H, tivermos g h g^-1 in H. Essa condição equivale a dizer que gH = Hg para todo g.

Passo 3

Aplicação da comutatividade: Como G é abeliano, valem as igualdades g h = h g e g^-1h = hg^-1. Então, para qualquer gin G e hin H, temos
g h g^-1 = (h g)g^-1 = h (g g^-1) = h e = h
Como hin H e H é subgrupo, concluímos que g h g^-1 também está em H.

Passo 4

Conclusão: Vimos que para todo gin G e todo hin H a conjugação g h g^-1 permanece em H. Logo, pela definição, H é normal em G.

Resposta

Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal porque a comutatividade garante que todo elemento conjugado de H por qualquer gin G permaneça em H.

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