Prove que todo subgrupo de um grupo abeliano é normal.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos provar que, se
é um grupo abeliano e
é um subgrupo de
, então
é normal em
. O que vamos usar é a definição de normalidade de subgrupos e a propriedade de comutatividade dos grupos abelianos.
Passo 2
Definição de subgrupo normal: Dizemos que
é normal em
(escrevemos
) se, para todo
e todo
, tivermos
. Essa condição equivale a dizer que
para todo
.
Passo 3
Aplicação da comutatividade: Como
é abeliano, valem as igualdades
e
. Então, para qualquer
e
, temos
Como
e
é subgrupo, concluímos que
também está em
.
Passo 4
Conclusão: Vimos que para todo
e todo
a conjugação
permanece em
. Logo, pela definição,
é normal em
.
Resposta
Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal porque a comutatividade garante que todo elemento conjugado de
por qualquer
permaneça em
.