(2,5 pts) Resolva, em
, a seguinte inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador
e denominador . - Devemos encontrar todos os
que tornam a desigualdade verdadeira. - Pontos onde o denominador zera (aqui
) são proibidos (a expressão não está definida neles).
Passo 2
Transformar a inequação em uma única fração com zero no lado direito facilita a análise de sinais. Subtraio
de ambos os lados:
Explico: queremos saber onde a diferença entre a expressão e
é positiva, isto é, onde a fração resultante é maior que zero. Trabalhar com uma única fração permite estudar sinais do numerador e do denominador.
Passo 3
Coloco as parcelas sobre o mesmo denominador
:
Calculo o numerador:
Portanto a inequação equivale a
Passo 4
Agora o problema virou uma inequação de sinal de uma função racional. Identifico os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
- Numerador zero:
- Denominador zero:
(esse ponto não está no domínio).
Esses dois valores dividem a reta em três intervalos onde o sinal da fração é constante:
,
e
.
Passo 5
Explico a técnica de análise de sinais (muito usada em provas): para uma fração
, o sinal só muda nos zeros de
ou
. Em cada intervalo entre pontos críticos o sinal é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo para saber se a fração é positiva ou negativa ali. Lembre-se: pontos onde o numerador é zero tornam a fração igual a zero; pontos onde o denominador é zero tornam a expressão indefinida e não podem ser incluídos na solução.
Passo 6
Escolho um ponto de teste em cada intervalo e calculo o sinal de
.
- Intervalo
. Tomo .
logo a fração é negativa no intervalo
.
- Intervalo
. Tomo .
logo a fração é positiva no intervalo
.
- Intervalo
. Tomo .
logo a fração é negativa no intervalo
.
Passo 7
Como queremos os
que tornam
, selecionamos os intervalos onde o sinal é positivo. Observações sobre extremos:
- Em
o numerador é zero, portanto a fração vale (não satisfaz o ), então não é incluído. - Em
a expressão não é definida (denominador zero), então também não é incluído.