(2,5 pts) Resolva, em \mathbb{R}, a seguinte inequação:
\frac{3 x+4}{1-x}>2 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{3x+4}{1-x} > 2.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre dois polinômios: numerador 3x+4 e denominador 1-x.
  • Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a desigualdade verdadeira.
  • Pontos onde o denominador zera (aqui x=1) são proibidos (a expressão não está definida neles).

Passo 2

Transformar a inequação em uma única fração com zero no lado direito facilita a análise de sinais. Subtraio 2 de ambos os lados:
\frac{3x+4}{1-x} - 2 > 0.
Explico: queremos saber onde a diferença entre a expressão e 2 é positiva, isto é, onde a fração resultante é maior que zero. Trabalhar com uma única fração permite estudar sinais do numerador e do denominador.

Passo 3

Coloco as parcelas sobre o mesmo denominador (1-x):
\frac{3x+4}{1-x} - 2 = \frac{3x+4}{1-x} - \frac{2(1-x)}{1-x} = \frac{3x+4 - 2(1-x)}{1-x}.
Calculo o numerador:
3x+4 - 2(1-x) = 3x+4 -2 +2x = 5x+2.
Portanto a inequação equivale a
\frac{5x+2}{1-x} > 0.

Passo 4

Agora o problema virou uma inequação de sinal de uma função racional. Identifico os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
  • Numerador zero: 5x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{5}.
  • Denominador zero: 1-x=0 \Rightarrow x=1 (esse ponto não está no domínio).
Esses dois valores dividem a reta em três intervalos onde o sinal da fração é constante: (-\infty,-\tfrac{2}{5}), (-\tfrac{2}{5},1) e (1,\infty).

Passo 5

Explico a técnica de análise de sinais (muito usada em provas): para uma fração \dfrac{A(x)}{B(x)}, o sinal só muda nos zeros de A ou B. Em cada intervalo entre pontos críticos o sinal é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo para saber se a fração é positiva ou negativa ali. Lembre-se: pontos onde o numerador é zero tornam a fração igual a zero; pontos onde o denominador é zero tornam a expressão indefinida e não podem ser incluídos na solução.

Passo 6

Escolho um ponto de teste em cada intervalo e calculo o sinal de \dfrac{5x+2}{1-x}.
  1. Intervalo (-\infty,-\tfrac{2}{5}). Tomo x=-1.
5(-1)+2 = -5+2 = -3 \quad(\text{numerador negativo}),
1-(-1)=2 \quad(\text{denominador positivo}),
logo a fração é negativa no intervalo (-\infty,-\tfrac{2}{5}).
  1. Intervalo (-\tfrac{2}{5},1). Tomo x=0.
5\cdot0+2 = 2 \quad(\text{numerador positivo}),
1-0 = 1 \quad(\text{denominador positivo}),
logo a fração é positiva no intervalo (-\tfrac{2}{5},1).
  1. Intervalo (1,\infty). Tomo x=2.
5\cdot2+2 = 12 \quad(\text{numerador positivo}),
1-2 = -1 \quad(\text{denominador negativo}),
logo a fração é negativa no intervalo (1,\infty).

Passo 7

Como queremos os x que tornam \dfrac{5x+2}{1-x} > 0, selecionamos os intervalos onde o sinal é positivo. Observações sobre extremos:
  • Em x=-\tfrac{2}{5} o numerador é zero, portanto a fração vale 0 (não satisfaz o >\,0), então x=-\tfrac{2}{5} não é incluído.
  • Em x=1 a expressão não é definida (denominador zero), então x=1 também não é incluído.

Resposta

\left(-\dfrac{2}{5},\,1\right)

Exercícios relacionados