(2 pts) Seja \mathbb{K} um corpo e \mathbb{K}[x] o conjunto dos polinômios com coeficientes em \mathbb{K}.
(a) Enuncie o algoritmo da divisão para o conjunto \mathbb{K}[x].
(b) Execute o algoritmo da divisão para f(x)=x^{5}-x^{3}+3 x-5, g(x)=x^{2}-3 em \mathbb{Q}[x] a em \mathbb{Z}_{7}[x].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  1. (a) Enunciar o algoritmo da divisão para o conjunto \mathbb{K}[x].
  2. (b) Executar esse algoritmo para dividir f(x)=x^{5}-x^{3}+3x-5 por g(x)=x^{2}-3 em duas situações: em \mathbb{Q}[x] e em \mathbb{Z}_{7}[x].
Informações relevantes dadas:
f(x)=x^{5}-x^{3}+3x-5,\qquad g(x)=x^{2}-3.
Não foi dada nenhuma outra restrição; portanto g(x) é não nulo e podemos aplicar o algoritmo da divisão em corpos (como \mathbb{Q} e \mathbb{Z}_7).

Passo 2

Enunciado do algoritmo da divisão (forma usual, curto e preciso):
Seja \mathbb{K} um corpo. Dados f(x),\,g(x)\in\mathbb{K}[x] com g(x)\neq 0, então existem polinômios únicos q(x),\,r(x)\in\mathbb{K}[x] tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x)
e
\deg r(x)<\deg g(x).
Algoritmo construtivo (procedimento para obter q e r):
  • Notação: escrevemos \operatorname{lc}(h) para o coeficiente líder de um polinômio h e \deg(h) para seu grau.
  • Enquanto \deg(f)\ge \deg(g):
    1. Calcule o monômio \ell(x)=\dfrac{\operatorname{lc}(f)}{\operatorname{lc}(g)}\,x^{\deg(f)-\deg(g)}. Aqui a divisão de coeficientes é em \mathbb{K}.
    2. Atualize q(x)\leftarrow q(x)+\ell(x).
    3. Atualize f(x)\leftarrow f(x)-\ell(x)\,g(x).
  • Quando \deg(f)<\deg(g), o polinômio atual f é o resto r e o q acumulado é o quociente.
Explicação didática do porquê funciona (resumo):
  • Cada iteração reduz o grau do polinômio restante, porque subtraímos o termo de maior grau. Como os graus são inteiros não-negativos, o processo termina em número finito de passos.
  • A unicidade decorre do fato de que se existissem q_1,r_1 e q_2,r_2 com \deg r_i<\deg g e q_1g+r_1=q_2g+r_2, então (q_1-q_2)g=r_2-r_1. O lado direito tem grau menor que \deg g (ou é zero), então q_1-q_2 deve ser zero, implicando q_1=q_2 e r_1=r_2.

Passo 3

Agora aplicamos o algoritmo em \mathbb{Q}[x].
Dados:
f(x)=x^{5}-x^{3}+3x-5,\qquad g(x)=x^{2}-3.
Vamos executar passo a passo mantendo todas as contas.
1ª iteração: comparar graus: \deg f=5, \deg g=2. Dividimos o termo líder:
\text{termo líder de }f \text{ é }x^{5},\qquad \text{termo líder de }g \text{ é }x^{2}.íéíé
Monômio a subtrair:
\ell_{1}(x)=\dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{3}.
Multiplicamos e subtraímos:
\ell_{1}(x)\,g(x)=x^{3}(x^{2}-3)=x^{5}-3x^{3}.
Subtraindo de f:
f(x)-\ell_{1}g(x)=\bigl(x^{5}-x^{3}+3x-5\bigr)-\bigl(x^{5}-3x^{3}\bigr)=(-x^{3}+3x^{3})+3x-5=2x^{3}+3x-5.
Atualizamos: quociente parcial q(x)=x^{3} e resto atual f_{\text{novo}}(x)=2x^{3}+3x-5.

Passo 4

2ª iteração: agora \deg f_{\text{novo}}=3\ge 2=\deg g. Dividimos termo líder:
\text{termo líder de }f_{\text{novo}}\text{ é }2x^{3}.íé
Monômio:
\ell_{2}(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}}=2x.
Multiplicamos e subtraímos:
\ell_{2}(x)\,g(x)=2x(x^{2}-3)=2x^{3}-6x.
Subtraindo:
(2x^{3}+3x-5)-(2x^{3}-6x)=3x-5+6x=9x-5.
Atualizamos: quociente q(x)=x^{3}+2x e resto atual f_{\text{novo}}(x)=9x-5.

Passo 5

Agora \deg(9x-5)=1<2=\deg g, portanto o algoritmo termina. Concluímos em \mathbb{Q}[x]:
q(x)=x^{3}+2x,\qquad r(x)=9x-5.
Verificação (checar que f=qg+r):
Multiplicamos qg:
q(x)g(x)=(x^{3}+2x)(x^{2}-3)=x^{5}-3x^{3}+2x^{3}-6x=x^{5}-x^{3}-6x.
Somando o resto:
qg+r=(x^{5}-x^{3}-6x)+(9x-5)=x^{5}-x^{3}+3x-5,
que é exatamente f(x). Verificação OK.

Passo 6

Agora aplicamos o algoritmo em \mathbb{Z}_{7}[x]. Primeiro reescrevemos os coeficientes de f e g reduzidos módulo 7.
Reduções módulo 7:
-1\equiv 6\pmod{7},\qquad -5\equiv 2\pmod{7},\qquad -3\equiv 4\pmod{7}.
Portanto, trabalharemos com:
f(x)\equiv x^{5}+6x^{3}+3x+2\pmod{7},\qquad g(x)\equiv x^{2}+4\pmod{7}.
(Neste passo eu transformei os coeficientes de f e g usando as congruências acima.)

Passo 7

Executando a divisão em \mathbb{Z}_7[x]:
1ª iteração: divisão do termo líder x^{5} por x^{2}:
\ell_{1}(x)=x^{3}.
Multiplicação em \mathbb{Z}_7:
\ell_{1}g = x^{3}(x^{2}+4)=x^{5}+4x^{3}.
Subtração (tudo reduzido módulo 7):
f-(\ell_{1}g)=(x^{5}+6x^{3}+3x+2)-(x^{5}+4x^{3})=(6-4)x^{3}+3x+2=2x^{3}+3x+2.
Quociente parcial q(x)=x^{3}, resto atual 2x^{3}+3x+2.

Passo 8

2ª iteração: dividir 2x^{3} por x^{2}:
\ell_{2}(x)=2x.
Multiplicação:
\ell_{2}g=2x(x^{2}+4)=2x^{3}+8x.
Reduzindo 8 módulo 7, temos 8\equiv 1. Então
\ell_{2}g=2x^{3}+x\quad\text{em }\mathbb{Z}_7[x].
Subtração:
(2x^{3}+3x+2)-(2x^{3}+x)=(3-1)x+2=2x+2.
Atualizamos quociente q(x)=x^{3}+2x e resto r(x)=2x+2.

Passo 9

O novo resto tem grau 1<2, logo o algoritmo termina em \mathbb{Z}_7[x]. Concluímos:
q(x)=x^{3}+2x,\qquad r(x)=2x+2\quad\text{em }\mathbb{Z}_7[x].
Verificação rápida (em \mathbb{Z}_7): calcular qg+r.
qg=(x^{3}+2x)(x^{2}+4)=x^{5}+4x^{3}+2x^{3}+8x=x^{5}+6x^{3}+x,
pois 8\equiv1. Somando r=2x+2:
qg+r=x^{5}+6x^{3}+x+2x+2=x^{5}+6x^{3}+3x+2,
que coincide com a forma reduzida de f em \mathbb{Z}_7[x]. Verificação OK.

Resposta

(a) Sejam f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x] com g(x)\neq 0. Existem únicos q(x),r(x)\in\mathbb{K}[x] tais que
f(x)=q(x)g(x)+r(x)\quad\text{e}\quad \deg r(x)<\deg g(x).
O algoritmo construtivo: enquanto \deg(f)\ge\deg(g) calcular \ell(x)=\dfrac{\operatorname{lc}(f)}{\operatorname{lc}(g)}x^{\deg(f)-\deg(g)}, fazer q\leftarrow q+\ell e f\leftarrow f-\ell g; o f final é r.
(b) Em \mathbb{Q}[x]:
q(x)=x^{3}+2x,\qquad r(x)=9x-5.
Em \mathbb{Z}_{7}[x]:
q(x)=x^{3}+2x,\qquad r(x)=2x+2.

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