(1,5 pts) Seja W=>=r[(-1,0,2),(2,3,1)] um subespaço de R^3. Determine o valor de k para que o vetor v=(5,6, k) in W.

Passo 1

O enunciado diz que W é o subespaço de R^3 gerado pelos vetores (-1,0,2) e (2,3,1), e pede o valor de k para que v=(5,6,k) pertença a W. Vamos usar o fato de que um vetor está em W exatamente quando pode ser escrito como combinação linear desses geradores.

Passo 2

Dizendo que existem escalares alpha,beta tais que
alpha(-1,0,2)+beta(2,3,1)=(5,6,k),
obtemos o sistema
-alpha + 2beta = 5, 3beta = 6, 2alpha + beta = k

Passo 3

Da segunda equação 3beta=6 segue
beta = 2

Passo 4

Substituindo beta=2 em -alpha +2beta=5 vem
-alpha + 4 = 5 Longrightarrow alpha = -1

Passo 5

Finalmente, na terceira equação 2alpha + beta = k temos
2(-1)+2 = k Longrightarrow k = 0

Resposta

k=0

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