Dado o sistema linear
l x+y+z=0 x-y+3 z=k 3 x-y+7 z=8
(b) ( 1,5 pts) Determine os valores de k para os quais o sistema possua solução. Neste caso, determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro
Queremos (i) achar para quais (k] o sistema é compatível e (ii) quando for, descrever o conjunto-solução. Vamos usar o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e eliminação de Gauss para verificar consistência.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A= 1 & 1 & 1 1 & -1 & 3 3 & -1 & 7
Usando expansão pela primeira linha:
det A =1cdotdet-1&3-1&7 -1cdotdet1&33&7 +1cdotdet1&-13&-1
Calculando cada menor:
det-1&3-1&7=-1cdot7-3cdot(-1)=-7+3=-4,
det1&33&7=1cdot7-3cdot3=7-9=-2,
det1&-13&-1=1cdot(-1)-(-1)cdot3=-1+3=2
Logo
det A =1cdot(-4)-1cdot(-2)+1cdot2=-4+2+2=0

Passo 3

Como det A=0, a matriz é singular e o sistema ou não tem solução ou tem infinitas soluções. Para decidir, montamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação.

Passo 4

A matriz aumentada é
l[Amid br] = 1 & 1 & 1 &;;0 1 & -1& 3 &;;k 3 & -1& 7 &;;8
Fazendo R2>=ts R2-R1 e R3>=ts R3-3R1, obtemos
1 & 1 & 1 & 0 0 & -2& 2 & k 0 & -4& 4 & 8
Dividindo a segunda linha por -2 e a terceira por -4:
x+y+z=0, y - z = -tfrack2, y - z = -2

Passo 5

Para que o sistema seja consistente, as duas últimas equações devem coincidir, isto é,
-k2=-2 Longrightarrow k=4
Se kneq4, teríamos y-z assumindo dois valores diferentes e o sistema seria impossível.

Passo 6

No caso k=4, as equações são
x+y+z=0, y-z=-2
Tomemos z=t como parâmetro livre. Então
y = z-2 = t-2, x = -,y - z = -(t-2)-t = 2-2t

Passo 7

O conjunto-solução é
l(x,y,z)inR^3: x=2-2t,;y=t-2,;z=t,;tinRr,
ou, em forma vetorial,
( x,y,z ) = (2,-2,0) + t,(-2,1,1), tinR

Resposta

O sistema é compatível somente se k=4. Neste caso, a solução geral é
l(x,y,z)colon x=2-2t,;y=t-2,;z=t,;tinRr

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