Sejam T, G in L(R^3) assim definidos:
T(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Determinar:
Ker(T circ G) e Im(G circ T);

Passo 1

O enunciado fornece as transformações lineares T,G:R^3toR^3 definidas por
T(x,y,z)=(x+y,;z+y,;z), G(x,y,z)=(x+2y,;y-z,;x+2z),
e pede ker(Tcirc G) e Im(Gcirc T). Para isso vamos compor as funções, obter expressões lineares, resolver um sistema homogêneo para o núcleo e parametrizar a imagem.

Passo 2

Calcular (Tcirc G)(x,y,z)=Tl(G(x,y,z)r). Primeiro
G(x,y,z)=(x+2y,;y-z,;x+2z)
Em seguida, como
T(u,v,w)=(u+v,;w+v,;w),
temos
(Tcirc G)(x,y,z) =l((x+2y)+(y-z),;(x+2z)+(y-z),;x+2zr) =(x+3y-z,;x+y+z,;x+2z)

Passo 3

Para achar
Da terceira equação segue , identicamente satisfeita. Logo
com .

Passo 4

Concluímos que
ker(Tcirc G)=span(-2,1,1)

Passo 5

Agora calcular (Gcirc T)(x,y,z)=Gl(T(x,y,z)r). Primeiro
T(x,y,z)=(x+y,;z+y,;z)
Aplicando G(u,v,w)=(u+2v,;v-w,;u+2w) com u=x+y, v=y+z, w=z
(Gcirc T)(x,y,z) =l((x+y)+2(y+z),;(y+z)-z,;(x+y)+2zr) =(x+3y+2z,;y,;x+y+2z)

Passo 6

Para obter Im(Gcirc T), escrevemos a saída (a,b,c) como
(a,b,c)=(x+3y+2z,;y,;x+y+2z)
Definindo s=y e t=x+2z, temos
b=s, c=t+s, a=t+3s
Logo
Im(Gcirc T) =(t+3s,s,t+s)mid s,tinR =span(1,0,1),(3,1,1)
Em forma de equação, é o plano
(a,b,c)inR^3 mid a-2b-c=0

Resposta

ker(T circ G) = span(-2,1,1).\newline
Im(G circ T) = span(1,0,1),(3,1,1) (equivalente ao plano (a,b,c) mid a - 2b - c = 0).

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