Questão 3 ( 2 pts.) Sejam B1=v1, v2, v3 e B2=w1, w2, w3 duas bases de R^3. Suponha que:
& w1=v1-v2-v3 & w2=2 v2+3 v3 & w3=3 v1+v3
(a) Determine as matrizes de mudança de base, [I]B1^B2 e[I]B2^B1;
(b) Se [v]B1=(l1 2 3). Quais são as coordenadas de v na base B2.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
B1=v1,v2,v3 e B2=w1,w2,w3,
com as relações
w1 &= v1 - v2 - v3, w2 &= 2,v2 + 3,v3, w3 &= 3,v1 + v3
Queremos (a) as matrizes de mudança de base
[I]B1^B2 e [I]B2^B1,
isto é, o operador identidade escrito nessas diferentes coordenadas,
e (b) dado [v]B1=(1,2,3)^T, achar [v]B2.

Passo 2

Para montar [I]B2^B1, expressamos cada wj em coordenadas de B1.
w1 = 1cdot v1 +(-1)cdot v2 +(-1)cdot v3, w2 = 0cdot v1 +2cdot v2 +3cdot v3, w3 = 3cdot v1 +0cdot v2 +1cdot v3
Colocando essas colunas, obtemos
[I]B2^B1 = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1

Passo 3

A matriz que leva coordenadas em B1 para coordenadas em B2 é a inversa da anterior:
[I]B1^B2 =l([I]B2^B1r)^-1
Calculando a inversa, com det=-1, chega-se a
[I]B1^B2 = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2

Passo 4

Agora, para v com [v]B1=(1,2,3)^T, suas coordenadas na base B2 são
[v]B2 = [I]B1^B2,123 = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2 123 = -201

Resposta

[I]B2^B1 = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 , \quad
[I]B1^B2 = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2 , \quad
[v]B2 = -2 0 1

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