1 (3 pts.) Seja W=(x, y, z) in R^3: x+y-z=0
(a) Mostre que W é um subespaço de R^3;
(b) Determine uma base e a dimensão de W;
(c) Encontre um subespaço V subset R^3 tal que R^3=V oplus W.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)inR^3 : x+y-z=0
O conteúdo aqui é o estudo de subespaços vetoriais em R^3: (a) mostrar que W é subespaço; (b) encontrar base e dimensão de W; (c) achar um complemento direto V tal que R^3 = Voplus W.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço, verificamos:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0+0-0=0, logo (0,0,0)in W.
  2. Se (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) estão em W, então
(x1+y1-z1)=0 e (x2+y2-z2)=0
Para a soma vale
(x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2) =(x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)=0+0=0,
logo (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in W.
3. Para escalar alphainR e (x,y,z)in W,
(alpha x)+(alpha y)-(alpha z) =alpha(x+y-z)=alphacdot0=0,
portanto alpha(x,y,z)in W.
Assim, W é subespaço de R^3.

Passo 3

Para achar uma base, parametrizamos a equação x+y-z=0 como
z = x+y
Logo
(x,y,z) = (x,y,x+y) = x,(1,0,1) + y,(0,1,1)
Os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes e geram W. Portanto
base de W = (1,0,1),,(0,1,1), dim W = 2

Passo 4

Queremos um subespaço V de dimensão 1 tal que R^3 = Voplus W. Note que W é o núcleo do funcional linear
f(x,y,z) = x+y-z
Basta escolher um vetor v com f(v)neq0. Por exemplo, tome v=(1,0,0); então f(1,0,0)=1. Definimos
V = span(1,0,0)
Para ver que Voplus W=R^3, dado (x,y,z) escolhemos
t = f(x,y,z) = x+y-z
e escrevemos
(x,y,z) = t,(1,0,0) + l((x-t),y,zr)
Como (x-t)+y-z = (x+y-z)-t = 0, então l((x-t),y,zr)in W. Além disso Vcap W=0 pois o único múltiplo de (1,0,0) em W é o zero.

Resposta

(a) W é subespaço de R^3 por conter o zero e ser fechado em soma e escalar.
(b) Uma base de W é (1,0,1),(0,1,1) e dim W = 2.
(c) Um complemento direto é
V = span(1,0,0),
pois R^3 = V oplus W.

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