1 (3 pts.) Seja
(a) Mostre que
é um subespaço de
;
(b) Determine uma base e a dimensão de
;
(c) Encontre um subespaço
tal que
.
(a) Mostre que
(b) Determine uma base e a dimensão de
(c) Encontre um subespaço
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo aqui é o estudo de subespaços vetoriais em
: (a) mostrar que
é subespaço; (b) encontrar base e dimensão de
; (c) achar um complemento direto
tal que
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, verificamos:
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então
Para a soma vale
logo
.
3. Para escalar e
,
3. Para escalar
portanto
.
Assim, é subespaço de
.
Assim,
Passo 3
Para achar uma base, parametrizamos a equação
como
Logo
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram
. Portanto
Passo 4
Queremos um subespaço
de dimensão 1 tal que
. Note que
é o núcleo do funcional linear
Basta escolher um vetor
com
. Por exemplo, tome
; então
. Definimos
Para ver que
, dado
escolhemos
e escrevemos
Como
, então
. Além disso
pois o único múltiplo de
em
é o zero.
Resposta
(a)
é subespaço de
por conter o zero e ser fechado em soma e escalar.
(b) Uma base de é
e
.
(c) Um complemento direto é
(b) Uma base de
(c) Um complemento direto é
pois
.