2 (2 pts.) Sejam B1=v1, v2, v3 e B2=w1, w2, w3 duas bases ordenadas de R^3 tais que:
& w1=v1-v2 & w2=2 v1-v2+v3 & w3=v1-2 v2+v3
(a) Determine as matrizes de mudança de base, [I]B1^B2 e [I]B1^B2;
(b) Se[v]B2=(r3 -2 1), determine [v]B1.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas B1=v1,v2,v3 e B2=w1,w2,w3 de R^3, com
w1=v1-v2, w2=2v1-v2+v3, w3=v1-2v2+v3
Precisa-se (a) das matrizes de mudança de base [I]B1^B2 e [I]B2^B1 e (b) de converter o vetor cuja coordenada em B2 é l(3,-2,1r)^!top para suas coordenadas em B1.

Passo 2

Para montar [I]B2^B1, note que cada coluna deve ser a coordenada de wj na base B1. Assim,
w1=1,v1+(-1),v2+0,v3, w2=2,v1+(-1),v2+1,v3, w3=1,v1+(-2),v2+1,v3,
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[I]B2^B1 = A = 1 & 2 & 1 -1 & -1 & -2 0 & 1 & 1

Passo 3

Para obter [I]B1^B2=A^-1 calculamos det(A)=2 e o adjugado de A. Encontramos
A^-1 =12 1 & -1 & -3 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 1

Passo 4

Dado [v]B2=(3,-2,1)^!top, suas coordenadas em B1 são
[v]B1 = A,[v]B2 = 1 & 2 & 1 -1 & -1 & -2 0 & 1 & 1 !3-21 = 0 -3 -1

Resposta

[I]B2^B1 = 1 & 2 & 1 -1 & -1 & -2 0 & 1 & 1 ,
[I]B1^B2 =12 1 & -1 & -3 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 1 ,
[v]B1 =0-3-1

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