Seja
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
Passo 2
Primeiro, checamos se
é não-vazio mostrando que o vetor zero está em
. O vetor zero de
é
Como
, segue que
. Logo,
.
Passo 3
Agora testamos a soma. Tomemos dois vetores quaisquer em
:
com
. Então
Como a soma de números racionais é racional, cada coordenada de
é em
. Logo
. Isso mostra fechamento sob adição.
Passo 4
Finalmente, testamos a multiplicação por um escalar arbitrário
. Pegue
Então
Se
for irracional, por exemplo
, então em geral
. Logo
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalares de
.