Seja V=R^3. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
W=(x, y, z) in V / x, y, z in Q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in V = R^3 mid x,y,z in Q
é um subespaço vetorial de V. O conteúdo necessário é a definição de subespaço: mostrar que W é não-vazio, fechado sob soma de vetores e fechado sob multiplicação por escalares de R.

Passo 2

Primeiro, checamos se W é não-vazio mostrando que o vetor zero está em W. O vetor zero de R^3 é
(0,0,0)
Como 0inQ, segue que (0,0,0)in W. Logo, Wneqvarnothing.

Passo 3

Agora testamos a soma. Tomemos dois vetores quaisquer em W:
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2),
com xi,yi,ziinQ. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como a soma de números racionais é racional, cada coordenada de u+v é em Q. Logo u+vin W. Isso mostra fechamento sob adição.

Passo 4

Finalmente, testamos a multiplicação por um escalar arbitrário alphainR. Pegue
u=(x,y,z)in W, x,y,zinQ
Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Se alpha for irracional, por exemplo alpha=raiz2, então em geral alpha xnotinQ. Logo alpha unotin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalares de R.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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