Seja V=R^3. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
W=(x, y, z) in V / x y z=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto
W = (x,y,z)in V mid x,y,z = 0
Para checar se W é subespaço precisamos verificar três propriedades:
  1. 0Vin W.
  2. u,vin Wimplies u+vin W.
  3. uin W,;lambdainRimplies lambda uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
0V = (0,0,0)e 0cdot0cdot0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Testamos a soma com um contra-exemplo. Seja
u = (1,0,1)in W(,1cdot0cdot1=0,),
v = (0,1,1)in W(,0cdot1cdot1=0,)
Então
u+v = (1,0,1)+(0,1,1) = (1,1,2) e 1cdot1cdot2 = 2 neq 0
Logo u+vnotin W, falhando a clausura sob adição.

Passo 4

Para fechar, testamos a multiplicação por escalar. Se u=(x,y,z)in W, então x,y,z=0. Para qualquer lambdainR,
lambda u = (lambda x,lambda y,lambda z),
e
(lambda x)(lambda y)(lambda z) = lambda^3(x,y,z) = lambda^3cdot0 = 0,
portanto lambda uin W. A clausura por escalar vale, mas já falhamos na soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V, pois não é fechado sob adição.

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