3 (2 pts.) Considere a transformação linear
(a) Determine o núcleo e a imagem de
;
(b) Determine a matriz de
, nas bases canônicas dos espaços
e
respectivamente.
(b) Determine a matriz de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede em (a) o núcleo e a imagem de
e em (b) a matriz de
nas bases canônicas de
e
.
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
Dessas equações vem
com
w livre. Logo
Passo 3
Para a imagem, note que
onde
ei são os vetores da base canônica de
R^4 . Como
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) já geram
R^3 , temos
Passo 4
A matriz de
T na base canônica de
R^4 (colunas dadas por
T(e1),dots,T(e4) ) e na base canônica de
R^3 é