3 (2 pts.) Considere a transformação linear
T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-2 w, y-3 w, z-4 w)
(a) Determine o núcleo e a imagem de T;
(b) Determine a matriz de T,[T], nas bases canônicas dos espaços R^4 e R^3 respectivamente.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^4toR^3, T(x,y,z,w)=(x-2w,;y-3w,;z-4w)
e pede em (a) o núcleo e a imagem de T e em (b) a matriz de T nas bases canônicas de R^4 e R^3.

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z,w)=(0,0,0)iff x-2w=0, y-3w=0, z-4w=0
Dessas equações vem
x=2w, y=3w, z=4w,
com w livre. Logo
ker(T)=(2w,3w,4w,w)mid winR =span(2,3,4,1)

Passo 3

Para a imagem, note que
T(e1)=(1,0,0), T(e2)=(0,1,0), T(e3)=(0,0,1), T(e4)=(-2,-3,-4),
onde ei são os vetores da base canônica de R^4. Como (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) já geram R^3, temos
Im(T)=R^3

Passo 4

A matriz de T na base canônica de R^4 (colunas dadas por T(e1),dots,T(e4)) e na base canônica de R^3 é
[T]= 1 & 0 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & -3 0 & 0 & 1 & -4

Resposta

ker(T)=span(2,3,4,1)
Im(T)=R^3
[T]= 1 & 0 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & -3 0 & 0 & 1 & -4

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