Seja f: R^2 R^2 dada por f(x, y)=x^3 y^2 g(x y), onde g é uma função derivável de uma variável, tal que g(-3)=5 e g^prime(-3)=2. Calcule f(1,-3), partial fpartial x(1,-3) e partial fpartial y(1,-3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^3y^2g(xy)
com g derivável e satisfazendo g(-3)=5 e g'(-3)=2. Precisamos calcular f(1,-3), partial fpartial x(1,-3) e partial fpartial y(1,-3), usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(1,-3) em f, temos
f(1,-3) =1^3cdot(-3)^2cdot g(1cdot(-3)) =1cdot9cdot g(-3) =9cdot5 =45

Passo 3

Para partial fpartial x aplicamos produto e cadeia, notando u=xy:
partial fpartial x =partial(x^3)partial x,y^2g(u) +x^3y^2,g'(u),partial upartial x =3x^2y^2g(xy) + x^3y^2g'(xy),y

Passo 4

Avaliando em (1,-3):
partial fpartial x(1,-3) =3cdot1^2cdot(-3)^2cdot5 +1^3cdot(-3)^2cdot2cdot(-3) =135-54 =81

Passo 5

Para partial fpartial y usamos regra do produto e cadeia:
partial fpartial y =x^3partial(y^2)partial yg(xy) + x^3y^2g'(xy),partial(xy)partial y =2x^3y,g(xy) + x^4y^2,g'(xy)
Em (1,-3):
partial fpartial y(1,-3) =2cdot1^3cdot(-3)cdot5 +1^4cdot(-3)^2cdot2 =-30+18 =-12

Resposta

f(1,-3)=45, partial fpartial x(1,-3)=81 e partial fpartial y(1,-3)=-12.

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