3 ( 2,0 pts.) Suponha que a equação F(x, y)=0 abaixo define, em cada caso, y como função de x. Calcule d yd x.
F(x, y)=raiz2 x-raiz3 y,

Passo 1

O enunciado define implicitamente a função y=y(x) pela equação
F(x,y)=raiz2x-raiz3y=0
e pede que calculemos dydx. O conteúdo aqui é derivação implícita usando regra da cadeia para raízes.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os termos de F(x,y)=0:
ddxl(raiz2xr);-;ddxl(raiz3yr);=;0
Para raiz2x=(2x)^1/2,
ddxl(raiz2xr) =tfrac12,(2x)^-1/2,cdot2 =1raiz2x
Para raiz3y=(3y)^1/2, usando regra da cadeia ( y=y(x)),
ddxl(raiz3yr) =tfrac12,(3y)^-1/2,cdot3,dydx =32raiz3y,dydx

Passo 3

Substituindo estas derivadas na equação e isolando dydx, temos
1raiz2x ;-; 32raiz3y,dydx ;=;0 Longrightarrow 32raiz3y,dydx =1raiz2x
dydx =1raiz2x;cdot;2raiz3y3 =2raiz3y3raiz2x

Resposta

dydx=2raiz3y3raiz2x

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