Para

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para cada
é solução do PVI
Para isso precisamos checar (i) a condição inicial, (ii) que e (iii) que para todo .

Passo 2

Condição inicial: como a>0 temos 0<= a, logo x=0 cai na região x<= a, onde y(0)=0. Portanto
y(0)=0
satisfaz a condição inicial.

Passo 3

Cálculo de y' em cada região:
  • Se x<a, então y(x)=0 é constante, logo
y'(x)=0
  • Se x>a, então y(x)=(x-a)^2 e
y'(x)=2(x-a)

Passo 4

Verificação da equação diferencial:
  • Para x<a: tem-se y(x)=0, logo raizlvert y(x)rvert=0 e
2raizlvert y(x)rvert=0=y'(x)
  • Para x>a: tem-se y(x)=(x-a)^2, então raizlvert y(x)rvert=lvert x-arvert=x-a (pois x>a) e
2raizlvert y(x)rvert=2(x-a)=y'(x)

Passo 5

Diferenciabilidade em x=a: o limite da derivada pela esquerda é
limxto a^-y'(x)=0 e pela direita
limxto a^+y'(x)=2(a-a)=0. Como coincidem, y é C^1 em x=a e aí vale
,y(a)=0Rightarrow2raizlvert y(a)rvert=0=y'(a).

Resposta

A função dada satisfaz y(0)=0, é C^1 em todo R e verifica y'(x)=2raizlvert y(x)rvert. Portanto é solução do PVI para todo a>0.

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