Use o Método de Indução Finita para provar as seguintes relações:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que a soma dos quadrados dos
primeiros números ímpares satisfaz
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que se baseia em dois passos principais: verificar a base
e mostrar que, se vale para
, então vale para
.
Passo 2
(Base da indução) Para
a soma à esquerda é
e a fórmula à direita dá
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula seja verdadeira para um
qualquer, isto é,
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar que então vale para
. Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução substituímos a primeira soma:
Colocando tudo sob o mesmo denominador:
Observe que
Portanto
que é exatamente a fórmula requerida para
.
Resposta
Assim, por indução, a igualdade
vale para todo
.