Use o Método de Indução Finita para provar as seguintes relações:
(d) 1^2+3^2+5^2+ldots+(2 n-1)^2=13(4 n^3-n)

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares satisfaz
sumk=1^n(2k-1)^2 ;=;13l(4n^3-nr)
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que se baseia em dois passos principais: verificar a base n=1 e mostrar que, se vale para n, então vale para n+1.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 a soma à esquerda é
sumk=1^1(2k-1)^2 = (2cdot1 -1)^2 = 1^2 = 1
e a fórmula à direita dá
13l(4cdot1^3-1r) = 13(4-1) = 1
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que a fórmula seja verdadeira para um n qualquer, isto é,
sumk=1^n(2k-1)^2 = 13l(4n^3-nr)

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que então vale para n+1. Começamos escrevendo
sumk=1^n+1(2k-1)^2 =sumk=1^n(2k-1)^2 ;+;(2(n+1)-1)^2
Pela hipótese de indução substituímos a primeira soma:
13l(4n^3-nr) + (2n+1)^2 = 4n^3-n3 + (4n^2+4n+1)
Colocando tudo sob o mesmo denominador:
4n^3-n + 3(4n^2+4n+1)3 = 4n^3-n +12n^2+12n+33 = 4n^3+12n^2+11n+33
Observe que
4(n+1)^3 - (n+1) =4l(n^3+3n^2+3n+1r) - n - 1 =4n^3+12n^2+12n+4 - n -1 =4n^3+12n^2+11n+3
Portanto
sumk=1^n+1(2k-1)^2 = 4(n+1)^3 - (n+1)3,
que é exatamente a fórmula requerida para n+1.

Resposta

Assim, por indução, a igualdade
sumk=1^n(2k-1)^2 = 13l(4n^3-nr)
vale para todo ninN.

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