(3,0 pts) Suponha que uma lâmina curva \sigma, com densidade constante \delta(x, y, z)=\delta_{0}, seja a porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=1. Determine a massa da lâmina.

Passo 1

O enunciado pede a massa da lâmina curva \sigma que é a porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} situada abaixo do plano z=1. As informações dadas são:
  • A lâmina é a superfície \sigma=\{(x,y,z)\mid z=x^{2}+y^{2},\\ z\le 1\}.
  • A densidade superficial é constante: \delta(x,y,z)=\delta_{0}.
  • Deve-se determinar a massa total da lâmina (uma única quantidade pedida).

Passo 2

Vamos traduzir o pedido para uma expressão integral. A massa M de uma lâmina com densidade superficial \delta é dada por
M=\iint_{\sigma}\delta\,dS.
Como a densidade é constante e igual a \delta_{0}, essa fórmula vira
M=\delta_{0}\iint_{\sigma} dS,
ou seja, \delta_{0} vezes a área da superfície \sigma. Agora precisamos escrever dS (o elemento de área da superfície) de forma que possamos calcular a integral.

Passo 3

Quando a superfície é o gráfico de uma função z=f(x,y) (aqui f(x,y)=x^{2}+y^{2}), uma forma prática de obter dS é parametrizar por (x,y). Definindo a parametrização
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))=(x,y,x^{2}+y^{2}),
os vetores tangentes são
\mathbf{r}_x=(1,0,f_x)=(1,0,2x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,f_y)=(0,1,2y).
O elemento de área é dado pela norma do produto vetorial:
dS=\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\|\,dA.
Calculando o produto vetorial (ou usando a fórmula padrão para gráficos),
\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\|=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Portanto, para um gráfico z=f(x,y) vale a fórmula
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso f(x,y)=x^{2}+y^{2}, obtemos as derivadas parciais
f_x=2x,\qquad f_y=2y.
Logo
dS=\sqrt{1+(2x)^2+(2y)^2}\;dA=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.

Passo 5

Precisamos agora do domínio de integração no plano xy: a lâmina é a porção do paraboloide com z\le 1. Como z=x^{2}+y^{2}, a projeção no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Portanto a integral sobre \sigma pode ser convertida numa integral dupla sobre D:
\iint_{\sigma} dS=\iint_{D}\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dA.

Passo 6

Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares. Em coordenadas polares temos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}, então a raiz fica \sqrt{1+4r^{2}}. O disco D corresponde a 0\le r\le 1,\\\ 0\le\theta\le 2\pi. Assim a massa é
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 7

Vamos calcular a integral interna \displaystyle\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr. Use a substituição
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{8}.
Quando r=0 tem u=1 e quando r=1 tem u=5. Portanto
\int_{0}^{1} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\int_{u=1}^{5}\sqrt{u}\,\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.
Integral de potência: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{5}=\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big).

Passo 8

Agora volte à integral em \theta. Como o resultado anterior não depende de \theta,
M=\delta_{0}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big)\right)d\theta =\delta_{0}\cdot\frac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big)\cdot 2\pi.
Simplificando os fatores numéricos,
M=\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big).
Observação: 5^{3/2}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}, então a expressão também pode ser escrita como M=\delta_{0}\,\dfrac{\pi}{6}\big(5\sqrt{5}-1\big).

Resposta

\displaystyle M=\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5^{3/2}-1\big)=\delta_{0}\,\frac{\pi}{6}\big(5\sqrt{5}-1\big)

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