(3,0 pts) Suponha que uma lâmina curva
, com densidade constante
, seja a porção do paraboloide
abaixo do plano
. Determine a massa da lâmina.
Passo 1
O enunciado pede a massa da lâmina curva
que é a porção do paraboloide
situada abaixo do plano
. As informações dadas são:
- A lâmina é a superfície
. - A densidade superficial é constante:
. - Deve-se determinar a massa total da lâmina (uma única quantidade pedida).
Passo 2
Vamos traduzir o pedido para uma expressão integral. A massa
de uma lâmina com densidade superficial
é dada por
Como a densidade é constante e igual a
, essa fórmula vira
ou seja,
vezes a área da superfície
. Agora precisamos escrever
(o elemento de área da superfície) de forma que possamos calcular a integral.
Passo 3
Quando a superfície é o gráfico de uma função
(aqui
), uma forma prática de obter
é parametrizar por
. Definindo a parametrização
os vetores tangentes são
O elemento de área é dado pela norma do produto vetorial:
Calculando o produto vetorial (ou usando a fórmula padrão para gráficos),
Portanto, para um gráfico
vale a fórmula
onde
é o elemento de área no plano
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso
, obtemos as derivadas parciais
Logo
Passo 5
Precisamos agora do domínio de integração no plano
: a lâmina é a porção do paraboloide com
. Como
, a projeção no plano
é o disco
Portanto a integral sobre
pode ser convertida numa integral dupla sobre
:
Passo 6
Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares. Em coordenadas polares temos
Além disso
, então a raiz fica
. O disco
corresponde a
. Assim a massa é
Passo 7
Vamos calcular a integral interna
. Use a substituição
Quando
tem
e quando
tem
. Portanto
Integral de potência:
. Assim
Passo 8
Agora volte à integral em
. Como o resultado anterior não depende de
,
Simplificando os fatores numéricos,
Observação:
, então a expressão também pode ser escrita como
.