Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede-se para verificar se o polinômio
é irredutível sobre . - Informação dada: os coeficientes inteiros do polinômio (termo de grau
com coeficiente , termo constante , etc.). - Pergunta clara: “é
irredutível em ?” — ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes inteiros, exceto unidades.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem ainda resolver): para polinômios de grau
com coeficientes inteiros é muito prático usar o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem). Vou explicar essa ferramenta:
- Teorema das Raízes Racionais (versão prática): se
é uma raiz racional em forma reduzida de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder e termo constante , então divide e divide . - No nosso caso o coeficiente líder é
. Isso significa que qualquer raiz racional deve ser um divisor inteiro do termo constante . Logo as únicas possibilidades de raízes racionais são inteiros que dividem . - Observação importante para cubos: se um polinômio de grau
(ou de grau ímpar em geral) é reduzível sobre então ele tem um fator de grau (um fator linear) em , isto é, uma raiz racional. Portanto, para provar que um polinômio cúbico é irredutível em basta mostrar que ele não tem raízes racionais. - Relação com
: pelo Lema de Gauss, um polinômio primitivo (isto é, coeficientes inteiros cujo MDC é ) é irreduzível em se, e somente se, for irreduzível em . Nosso polinômio é primitivo porque o MDC dos coeficientes é .
Conclusão da estratégia: vou listar as possíveis raízes inteiras (divisores de
), calcular
nesses valores; se nenhuma for zero,
não tem raiz racional, logo é irredutível sobre
e, por Gauss, sobre
.
Passo 3
Determinar as possíveis raízes racionais inteiras segundo o teorema:
- Como o coeficiente líder é
, os candidatos são os divisores inteiros de . - Lista de divisores de
:
Passo 4
Avaliar
em
:
- Calcular termo a termo:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 5
Avaliar
em
:
- Fórmula:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 6
Avaliar
em
:
- Fórmula:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 7
Avaliar
em
:
- Fórmula:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 8
Avaliar
em
:
- Fórmula:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 9
Avaliar
em
:
- Fórmula:
- Simplificando:
- Soma passo a passo:
- Conclusão:
. Portanto não é raiz.
Passo 10
Avaliar
em
e
(opcional, mas rápido para completar a lista):
- Para
:
Então
.
- Para
:
Então
.
Passo 11
Conclusão intermediária sobre raízes racionais:
- Nenhum dos candidatos
anulou . Logo não tem raiz racional. - Como
tem grau , qualquer fatorização não-trivial em exigiria um fator linear (grau ), isto é, uma raiz racional. Como não existe raiz racional, não é redutível em .
Passo 12
Conectar com
usando o Lema de Gauss:
- Primeiro verificar que
é primitivo: os coeficientes são ; o máximo divisor comum desses números é . Portanto é primitivo. - Pelo Lema de Gauss, para polinômios primitivos, irreducibilidade em
é equivalente à irreducibilidade em . - Já mostramos que
é irreduzível em . Logo é irreduzível em .
Resposta
Irredutível sobre
.