Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre \mathbb{Z} :
q(x)=x^{3}+6 x^{2}-9 x+21

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede-se para verificar se o polinômio q(x)=x^{3}+6x^{2}-9x+21 é irredutível sobre \mathbb{Z}.
  • Informação dada: os coeficientes inteiros do polinômio (termo de grau 3 com coeficiente 1, termo constante 21, etc.).
  • Pergunta clara: “é q(x) irredutível em \mathbb{Z}[x]?” — ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes inteiros, exceto unidades.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem ainda resolver): para polinômios de grau 3 com coeficientes inteiros é muito prático usar o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem). Vou explicar essa ferramenta:
  • Teorema das Raízes Racionais (versão prática): se \dfrac{p}{q} é uma raiz racional em forma reduzida de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder a_n e termo constante a_0, então p divide a_0 e q divide a_n.
  • No nosso caso o coeficiente líder é 1. Isso significa que qualquer raiz racional deve ser um divisor inteiro do termo constante 21. Logo as únicas possibilidades de raízes racionais são inteiros que dividem 21.
  • Observação importante para cubos: se um polinômio de grau 3 (ou de grau ímpar em geral) é reduzível sobre \mathbb{Q} então ele tem um fator de grau 1 (um fator linear) em \mathbb{Q}[x], isto é, uma raiz racional. Portanto, para provar que um polinômio cúbico é irredutível em \mathbb{Q}[x] basta mostrar que ele não tem raízes racionais.
  • Relação com \mathbb{Z}[x]: pelo Lema de Gauss, um polinômio primitivo (isto é, coeficientes inteiros cujo MDC é 1) é irreduzível em \mathbb{Z}[x] se, e somente se, for irreduzível em \mathbb{Q}[x]. Nosso polinômio é primitivo porque o MDC dos coeficientes 1,6,-9,21 é 1.
Conclusão da estratégia: vou listar as possíveis raízes inteiras (divisores de 21), calcular q nesses valores; se nenhuma for zero, q não tem raiz racional, logo é irredutível sobre \mathbb{Q} e, por Gauss, sobre \mathbb{Z}.

Passo 3

Determinar as possíveis raízes racionais inteiras segundo o teorema:
  • Como o coeficiente líder é 1, os candidatos são os divisores inteiros de 21.
  • Lista de divisores de 21: \pm 1,\\ \pm 3,\\ \pm 7,\\ \pm 21.

Passo 4

Avaliar q em x=1:
  • Calcular termo a termo: q(1)=1^{3}+6\cdot1^{2}-9\cdot1+21.
  • Simplificando: q(1)=1+6-9+21.
  • Soma passo a passo: 1+6=7,\quad 7-9=-2,\quad -2+21=19.
  • Conclusão: q(1)=19\neq 0. Portanto 1 não é raiz.

Passo 5

Avaliar q em x=-1:
  • Fórmula: q(-1)=(-1)^{3}+6(-1)^{2}-9(-1)+21.
  • Simplificando: q(-1)=-1+6+9+21.
  • Soma passo a passo: -1+6=5,\quad 5+9=14,\quad 14+21=35.
  • Conclusão: q(-1)=35\neq 0. Portanto -1 não é raiz.

Passo 6

Avaliar q em x=3:
  • Fórmula: q(3)=3^{3}+6\cdot3^{2}-9\cdot3+21.
  • Simplificando: q(3)=27+6\cdot9-27+21.
q(3)=27+54-27+21.
  • Soma passo a passo: 27+54=81,\quad 81-27=54,\quad 54+21=75.
  • Conclusão: q(3)=75\neq 0. Portanto 3 não é raiz.

Passo 7

Avaliar q em x=-3:
  • Fórmula: q(-3)=(-3)^{3}+6(-3)^{2}-9(-3)+21.
  • Simplificando: q(-3)=-27+6\cdot9+27+21.
q(-3)=-27+54+27+21.
  • Soma passo a passo: -27+54=27,\quad 27+27=54,\quad 54+21=75.
  • Conclusão: q(-3)=75\neq 0. Portanto -3 não é raiz.

Passo 8

Avaliar q em x=7:
  • Fórmula: q(7)=7^{3}+6\cdot7^{2}-9\cdot7+21.
  • Simplificando: q(7)=343+6\cdot49-63+21.
q(7)=343+294-63+21.
  • Soma passo a passo: 343+294=637,\quad 637-63=574,\quad 574+21=595.
  • Conclusão: q(7)=595\neq 0. Portanto 7 não é raiz.

Passo 9

Avaliar q em x=-7:
  • Fórmula: q(-7)=(-7)^{3}+6(-7)^{2}-9(-7)+21.
  • Simplificando: q(-7)=-343+6\cdot49+63+21.
q(-7)=-343+294+63+21.
  • Soma passo a passo: -343+294=-49,\quad -49+63=14,\quad 14+21=35.
  • Conclusão: q(-7)=35\neq 0. Portanto -7 não é raiz.

Passo 10

Avaliar q em x=21 e x=-21 (opcional, mas rápido para completar a lista):
  • Para x=21: q(21)=21^{3}+6\cdot21^{2}-9\cdot21+21.
q(21)=9261+6\cdot441-189+21.
q(21)=9261+2646-189+21.
9261+2646=11907,\quad 11907-189=11718,\quad 11718+21=11739.
Então q(21)=11739\neq 0.
  • Para x=-21: q(-21)=(-21)^{3}+6(-21)^{2}-9(-21)+21.
q(-21)=-9261+6\cdot441+189+21.
q(-21)=-9261+2646+189+21.
-9261+2646=-6615,\quad -6615+189=-6426,\quad -6426+21=-6405.
Então q(-21)=-6405\neq 0.

Passo 11

Conclusão intermediária sobre raízes racionais:
  • Nenhum dos candidatos \pm 1,\pm 3,\pm 7,\pm 21 anulou q(x). Logo q(x) não tem raiz racional.
  • Como q tem grau 3, qualquer fatorização não-trivial em \mathbb{Q}[x] exigiria um fator linear (grau 1), isto é, uma raiz racional. Como não existe raiz racional, q não é redutível em \mathbb{Q}[x].

Passo 12

Conectar com \mathbb{Z}[x] usando o Lema de Gauss:
  • Primeiro verificar que q é primitivo: os coeficientes são 1,6,-9,21; o máximo divisor comum desses números é 1. Portanto q é primitivo.
  • Pelo Lema de Gauss, para polinômios primitivos, irreducibilidade em \mathbb{Q}[x] é equivalente à irreducibilidade em \mathbb{Z}[x].
  • Já mostramos que q é irreduzível em \mathbb{Q}[x]. Logo q é irreduzível em \mathbb{Z}[x].

Resposta

Irredutível sobre \mathbb{Z}.

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