Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre
:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para verificar se ele é irredutível sobre
.
Informações relevantes do enunciado:
- Tem-se um polinômio com coeficientes inteiros e grau
. - A pergunta é se esse polinômio é irredutível em
(ou seja, se não pode ser escrito como produto de dois polinômios não-constantes com coeficientes inteiros).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que usar): para um polinômio de grau
com coeficiente líder
(monico), qualquer fatoração não-trivial em
teria necessariamente um fator linear com coeficientes inteiros. Isso significa que, se
for reduzível em
, então existe um inteiro
tal que
(isto é, existe raiz inteira). Portanto, basta procurar raízes inteiras.
Ferramenta concreta: Teorema das raízes racionais (caso simplificado para polinômio mónico) — os possíveis raízes inteiras dividem o termo independente. Aqui o termo independente é
, logo os candidatos são
Vou avaliar
nesses valores (explicando as contas) até achar uma raiz ou concluir que não há.
Passo 3
Avaliações (contas passo a passo):
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Calcule passo a passo:
,
,
. Logo
.
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Calcule passo a passo:
,
,
. Assim
.
Achamos uma raiz inteira:
. Isso já mostra que
tem o fator linear
em
, então
é reduzível em
. Vou agora dividir
por
para obter o outro fator.
Passo 4
Divisão polinomial (método sintético, explicado passo a passo):
Coeficientes de
:
. Usando a raiz
:
- Trago o
para baixo (coeficiente do quociente na posição mais alta). - Multiplico
por e obtenho . Somo com o próximo coeficiente : . - Multiplico
por e obtenho . Somo com : . - Multiplico
por e obtenho . Somo com : (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são
, o que corresponde ao polinômio
.
Portanto
Passo 5
Verificação se o fator quadrático é reduzível em
:
Para um polinômio quadrático mónico
ser fatorável em
é necessário que ele tenha raízes inteiras (ou ao menos racionais). Um teste rápido é o discriminante:
Aqui
e
, portanto
O discriminante é negativo, logo não há raízes reais nem racionais; em particular não há raízes inteiras. Assim
não é fatorável em
. Concluímos que a fatoração encontrada é uma fatoração em polinômios com coeficientes inteiros, com fatores não-constantes.
Passo 6
Conclusão final (motivação e resumo curto para a prova):
- Encontrou-se a raiz inteira
usando o teorema das raízes racionais (candidatos divisores de ). - Dividindo por
obteve-se . - O quadrático tem discriminante negativo, logo é irreduzível em
. - Portanto
é reduzível em e sua fatoração em é .