Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis sobre \mathbb{Z} :
p(x)=x^{3}+4 x^{2}+9 x+10

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{3}+4x^{2}+9x+10
e pede para verificar se ele é irredutível sobre \mathbb{Z}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Tem-se um polinômio com coeficientes inteiros e grau 3.
  • A pergunta é se esse polinômio é irredutível em \mathbb{Z}[x] (ou seja, se não pode ser escrito como produto de dois polinômios não-constantes com coeficientes inteiros).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e por que usar): para um polinômio de grau 3 com coeficiente líder 1 (monico), qualquer fatoração não-trivial em \mathbb{Z}[x] teria necessariamente um fator linear com coeficientes inteiros. Isso significa que, se p(x) for reduzível em \mathbb{Z}[x], então existe um inteiro r tal que p(r)=0 (isto é, existe raiz inteira). Portanto, basta procurar raízes inteiras.
Ferramenta concreta: Teorema das raízes racionais (caso simplificado para polinômio mónico) — os possíveis raízes inteiras dividem o termo independente. Aqui o termo independente é 10, logo os candidatos são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 5,\\ \pm 10.
Vou avaliar p(x) nesses valores (explicando as contas) até achar uma raiz ou concluir que não há.

Passo 3

Avaliações (contas passo a passo):
Avaliar em x=1:
p(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}+9\cdot1+10=1+4+9+10=24\neq0.
Avaliar em x=-1:
p(-1)=(-1)^{3}+4(-1)^{2}+9(-1)+10=-1+4-9+10.
Calcule passo a passo: -1+4=3, 3-9=-6, -6+10=4. Logo p(-1)=4\neq0.
Avaliar em x=2:
p(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}+9\cdot2+10=8+16+18+10=52\neq0.
Avaliar em x=-2:
p(-2)=(-2)^{3}+4(-2)^{2}+9(-2)+10=-8+16-18+10.
Calcule passo a passo: -8+16=8, 8-18=-10, -10+10=0. Assim p(-2)=0.
Achamos uma raiz inteira: x=-2. Isso já mostra que p(x) tem o fator linear x+2 em \mathbb{Z}[x], então p(x) é reduzível em \mathbb{Z}[x]. Vou agora dividir p(x) por x+2 para obter o outro fator.

Passo 4

Divisão polinomial (método sintético, explicado passo a passo):
Coeficientes de p(x): 1,\\\ 4,\\\ 9,\\\ 10. Usando a raiz -2:
  • Trago o 1 para baixo (coeficiente do quociente na posição mais alta).
  • Multiplico 1 por -2 e obtenho -2. Somo com o próximo coeficiente 4: 4+(-2)=2.
  • Multiplico 2 por -2 e obtenho -4. Somo com 9: 9+(-4)=5.
  • Multiplico 5 por -2 e obtenho -10. Somo com 10: 10+(-10)=0 (resto zero, como esperado).
Os coeficientes do quociente são 1,\\\ 2,\\\ 5, o que corresponde ao polinômio x^{2}+2x+5.
Portanto
p(x)=(x+2)(x^{2}+2x+5).

Passo 5

Verificação se o fator quadrático é reduzível em \mathbb{Z}[x]:
Para um polinômio quadrático mónico x^{2}+bx+c ser fatorável em \mathbb{Z}[x] é necessário que ele tenha raízes inteiras (ou ao menos racionais). Um teste rápido é o discriminante:
\Delta=b^{2}-4c.
Aqui b=2 e c=5, portanto
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot5=4-20=-16.
O discriminante é negativo, logo não há raízes reais nem racionais; em particular não há raízes inteiras. Assim x^{2}+2x+5 não é fatorável em \mathbb{Z}[x]. Concluímos que a fatoração encontrada é uma fatoração em polinômios com coeficientes inteiros, com fatores não-constantes.

Passo 6

Conclusão final (motivação e resumo curto para a prova):
  • Encontrou-se a raiz inteira -2 usando o teorema das raízes racionais (candidatos divisores de 10).
  • Dividindo por x+2 obteve-se x^{2}+2x+5.
  • O quadrático tem discriminante negativo, logo é irreduzível em \mathbb{Z}[x].
  • Portanto p(x) é reduzível em \mathbb{Z}[x] e sua fatoração em \mathbb{Z}[x] é (x+2)(x^{2}+2x+5).

Resposta

p(x)=(x+2)(x^{2}+2x+5)

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