( 1,5 pts ) Utilizando a regra da cadeia, determine as derivadas parciais ft e fr para f(x, y)=x sen(x+2 y), sendo x=r t e y=t e^-7 r.

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia. A função é f(x,y)=xsin(x+2y), com as trocas x=rt e y=t e^-7r. Vamos achar ft e fr.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x e a y, tratando-as como variáveis independentes. Derivando f(x,y)=xsin(x+2y):
fx = partialpartial xl[xsin(x+2y)r] = sin(x+2y) + xcos(x+2y),
fy = partialpartial yl[xsin(x+2y)r] = xcdot 2cos(x+2y) = 2xcos(x+2y).

Passo 3

Agora derivamos as trocas x=rt e y=t e^-7r em relação a t e a r:
xt = r, xr = t,
yt = e^-7r, yr = -7t,e^-7r

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
ft = fx,xt + fy,yt e fr = fx,xr + fy,yr. Substituindo fx,fy,xt,xr,yt,yr:
ft = (sin(x+2y)+xcos(x+2y))cdot r + (2xcos(x+2y))cdot e^-7r,
fr = (sin(x+2y)+xcos(x+2y))cdot t + (2xcos(x+2y))cdot(-7t e^-7r)

Passo 5

Por fim, voltamos às variáveis r e t substituindo x=rt e y=t e^-7r. Chamando S = rt + 2t e^-7r, obtemos:
ft = rsin(S) + (r^2 t + 2r t e^-7r)cos(S),
fr = tsin(S) + (r t^2 - 14r t^2 e^-7r)cos(S),
onde S = rt + 2t e^-7r.

Resposta

$$f_t = r\sin\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr) + \bigl(r^2 t + 2r t e^{-7r}\bigr)\cos\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr),\
f_r = t\sin\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr) + \bigl(r t^2 - 14r t^2 e^{-7r}\bigr)\cos\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr).$$

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