( 1,5 pts ) Utilizando a regra da cadeia, determine as derivadas parciais
e
para
, sendo
e
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia. A função é
, com as trocas
e
. Vamos achar
e
.
Passo 2
Primeiro, derivamos
em relação a
e a
, tratando-as como variáveis independentes. Derivando
:
Passo 3
Agora derivamos as trocas
e
em relação a
e a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, voltamos às variáveis
e
substituindo
e
. Chamando
, obtemos:
onde
.
Resposta
$$f_t = r\sin\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr) + \bigl(r^2 t + 2r t e^{-7r}\bigr)\cos\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr),\
f_r = t\sin\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr) + \bigl(r t^2 - 14r t^2 e^{-7r}\bigr)\cos\bigl(rt + 2t e^{-7r}\bigr).$$