( 1,5 pts ) Seja f(x, y)=5 x^3 y^2+raizx^2+y^2. Determine a derivada parcial fx x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial $ f_{xxy} $ da função $ f(x, y) = 5x{3}y{2} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f_{xxy} $. Isso quer dizer que vamos derivar a função $ f $ duas vezes em relação a $ x $ e depois uma vez em relação a $ y $. Ou seja, é uma derivada mista onde a ordem das derivações é duas vezes em $ x $ e uma vez em $ y $.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ f_x $.
A função é:
f
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
x
Calculando cada derivada:
fx
E para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
f(x, y) = 5x^3y^2 + raizx^2 + y^2
Então:
x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ f_x $ novamente em relação a $ x $, ou seja, encontrar $ f_{xx} $.
Derivando $ f_x $ em relação a $ x $:
fx
Derivando termo a termo:
x
Para o segundo termo, usamos a regra do quociente:
fxx
Simplificando:
fx
Então:
x

Passo 5

Por fim, vamos derivar $ f_{xx} $ em relação a $ y $, ou seja, encontrar $ f_{xxy} $.
Derivando $ f_{xx} $ em relação a $ y $:
fxx
Derivando termo a termo:
y
Para o segundo termo, usamos a regra do quociente novamente:
fxxy
Simplificando:
fxx
Portanto:
y

Resposta

A derivada parcial $ f_{xxy} $ é:
fxxy

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