A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
O termo não homogêneo é g(t)=\binom{e^{2t}}{e^{t}}.
Pedem a solução geral X(t) do sistema usando o método da variação dos parâmetros.]
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo X'=AX. Como A é diagonal, as duas equações decoplam:
x_1' = 1\cdot x_1,\qquad x_2' = -1\cdot x_2.
Resolvendo cada uma:
x_1(t) = C_1 e^{t},\qquad x_2(t) = C_2 e^{-t},
onde C_1,C_2 são constantes. Logo uma base de soluções para o homogêneo é \begin{pmatrix}e^{t}\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[2pt]e^{-t}\end{pmatrix}.]
Passo 3
Montamos a matriz fundamental \Phi(t) (colunas formadas pelas soluções fundamentais):
Explicação rápida: \Phi(t) é uma matriz invertível cujas colunas são soluções linearmente independentes do homogêneo; ela serve para escrever a solução geral do homogêneo como X_h(t)=\Phi(t)C.]
Passo 4
Agora aplicamos a variação dos parâmetros: procuramos uma solução do tipo
X(t)=\Phi(t)u(t),
onde u(t) é um vetor a determinar. Diferenciando,
X'(t)=\Phi'(t)u(t)+\Phi(t)u'(t).
Como \Phi satisfaz \Phi' = A\Phi (porque suas colunas são soluções do homogêneo), substituindo na equação original X'=AX+g obtemos
A\Phi u + \Phi u' = A(\Phi u) + g.
Os termos A\Phi u se cancelam, restando a equação simples para u:
onde k_1,k_2 são constantes de integração. Observação didática: as constantes k_1,k_2 correspondem a adicionar uma combinação de soluções homogêneas dentro de \Phi(t)u(t); portanto, para obter uma solução particular basta escolher k_1=k_2=0 e a parte homogênea será recolhida pelos constantes gerais do resultado final.
Passo 7
Tomando a escolha particular u_p(t)=\binom{e^{t}}{\tfrac{1}{2}e^{2t}} (ou seja k_1=k_2=0), calculamos a solução particular
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias (absorvendo as constantes k_1,k_2 da integração).
Passo 9
Verificação rápida (para dar confiança): derivando a solução obtida componente a componente e substituindo em X'=AX+g recupera-se identidade, por exemplo para a primeira componente: