(2,0 pts) Utilize o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral do sistema.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right) X+\binom{e^{2 t}}{e^{t}}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo e pede a solução geral usando variação dos parâmetros:
X'=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}X+\binom{e^{2t}}{e^{t}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
  • O termo não homogêneo é g(t)=\binom{e^{2t}}{e^{t}}.
  • Pedem a solução geral X(t) do sistema usando o método da variação dos parâmetros.]

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo X'=AX. Como A é diagonal, as duas equações decoplam:
x_1' = 1\cdot x_1,\qquad x_2' = -1\cdot x_2.
Resolvendo cada uma:
x_1(t) = C_1 e^{t},\qquad x_2(t) = C_2 e^{-t},
onde C_1,C_2 são constantes. Logo uma base de soluções para o homogêneo é \begin{pmatrix}e^{t}\\[2pt]0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[2pt]e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Montamos a matriz fundamental \Phi(t) (colunas formadas pelas soluções fundamentais):
\Phi(t)=\begin{pmatrix}e^{t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}.
Explicação rápida: \Phi(t) é uma matriz invertível cujas colunas são soluções linearmente independentes do homogêneo; ela serve para escrever a solução geral do homogêneo como X_h(t)=\Phi(t)C.]

Passo 4

Agora aplicamos a variação dos parâmetros: procuramos uma solução do tipo
X(t)=\Phi(t)u(t),
onde u(t) é um vetor a determinar. Diferenciando,
X'(t)=\Phi'(t)u(t)+\Phi(t)u'(t).
Como \Phi satisfaz \Phi' = A\Phi (porque suas colunas são soluções do homogêneo), substituindo na equação original X'=AX+g obtemos
A\Phi u + \Phi u' = A(\Phi u) + g.
Os termos A\Phi u se cancelam, restando a equação simples para u:
\Phi(t)u'(t)=g(t)\quad\Longrightarrow\quad u'(t)=\Phi^{-1}(t)g(t).
Isto é a fórmula central da variação dos parâmetros para sistemas lineares.

Passo 5

Calculamos \Phi^{-1}(t). Como \Phi é diagonal,
\Phi^{-1}(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & 0\\[4pt]0 & e^{t}\end{pmatrix}.
Multiplicando por g(t)=\binom{e^{2t}}{e^{t}} obtemos
u'(t)=\Phi^{-1}(t)g(t)=\begin{pmatrix}e^{-t} & 0\\[4pt]0 & e^{t}\end{pmatrix}\binom{e^{2t}}{e^{t}}=\binom{e^{t}}{e^{2t}}.
Expliquei: para cada componente fazemos a multiplicação diagonalmente.]

Passo 6

Integramos componente a componente para obter u(t):
u_1'(t)=e^{t}\quad\Rightarrow\quad u_1(t)=\int e^{t}\,dt = e^{t}+k_1,
u_2'(t)=e^{2t}\quad\Rightarrow\quad u_2(t)=\int e^{2t}\,dt = \tfrac{1}{2}e^{2t}+k_2,
onde k_1,k_2 são constantes de integração. Observação didática: as constantes k_1,k_2 correspondem a adicionar uma combinação de soluções homogêneas dentro de \Phi(t)u(t); portanto, para obter uma solução particular basta escolher k_1=k_2=0 e a parte homogênea será recolhida pelos constantes gerais do resultado final.

Passo 7

Tomando a escolha particular u_p(t)=\binom{e^{t}}{\tfrac{1}{2}e^{2t}} (ou seja k_1=k_2=0), calculamos a solução particular
X_p(t)=\Phi(t)u_p(t)=\begin{pmatrix}e^{t} & 0\\[4pt]0 & e^{-t}\end{pmatrix}\binom{e^{t}}{\tfrac{1}{2}e^{2t}} =\binom{e^{t}\cdot e^{t}}{e^{-t}\cdot \tfrac{1}{2}e^{2t}} =\binom{e^{2t}}{\tfrac{1}{2}e^{t}}.]

Passo 8

A solução geral do sistema é a soma da solução geral do homogêneo com uma solução particular. Assim
X(t)=X_h(t)+X_p(t) =\binom{C_1 e^{t}}{C_2 e^{-t}}+\binom{e^{2t}}{\tfrac{1}{2}e^{t}} =\binom{C_1 e^{t}+e^{2t}}{C_2 e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{t}},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias (absorvendo as constantes k_1,k_2 da integração).

Passo 9

Verificação rápida (para dar confiança): derivando a solução obtida componente a componente e substituindo em X'=AX+g recupera-se identidade, por exemplo para a primeira componente:
\frac{d}{dt}\big(C_1 e^{t}+e^{2t}\big)=C_1 e^{t}+2e^{2t},
e a equação correspondente pede 1\cdot (C_1 e^{t}+e^{2t}) + e^{2t}, que é C_1 e^{t}+2e^{2t}; confere. A segunda componente confere de forma análoga.

Resposta

\displaystyle X(t)=\binom{C_{1}e^{t}+e^{2t}}{C_{2}e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{t}}

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