Faça uma tabela com pelo menos 9 pontos e desenhe o gráfico das funções abaixo
f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}:
  • Fazer uma tabela com pelo menos 9 pontos (valores de x e os correspondentes f(x)).
  • Desenhar o gráfico da função usando esses pontos.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}.
  • Não há outros dados — então vou escolher 9 pontos representativos espalhados simetricamente em torno de x=0 para mostrar bem o comportamento.

Passo 2

Entendendo a função antes de calcular pontos (aula rápida com calma e bom humor).
  • A função f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}} é a famosa função logística (ou sigmóide). É uma curva em “S”.
  • Domínio: todos os reais, isto é, x\in\mathbb{R}.
  • Imagem (valores possíveis): 0< f(x) <1 para todo x. Ela se aproxima de 0 para x\to -\infty e se aproxima de 1 para x\to +\infty. Esses são assíntotas horizontais em y=0 e y=1.
  • Valor no zero: f(0)=\dfrac{1}{1+e^{0}}=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Simetria útil (bem prática na prova): \,f(-x)=1-f(x). Isso ajuda a calcular valores negativos se já tiver os positivos.
  • Monotonicidade: a função é estritamente crescente (derivada positiva). Uma forma rápida de ver a derivada: f(x) = (1+e^{-x})^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}.Note que e^{-x}>0 e o denominador é positivo, logo f'(x)>0 para todo x.
  • Em termos práticos: gráfico em S, cruza y=0{,}5 em x=0, sobe rápido perto de x=0 e depois se nivela perto de y=1.

Passo 3

Escolha dos pontos: vou usar os pontos x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. Para cada um calculemos f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}} passo a passo, usando aproximações usuais de e^{t}.
Lembrete de aproximações usadas (valores padrão de e^{t}):
\begin{aligned} e^{1}&\approx2{,}71828,\\\ e^{2}&\approx7{,}38906,\\\ e^{3}&\approx20{,}08554,\\\ e^{4}&\approx54{,}59815. \end{aligned}
Como f(x) usa e^{-x}, para x>0 usaremos e^{-x} (pequeno) e para x<0 usaremos e^{-x}=e^{|x|} (grande).
Agora os cálculos (cada linha: primeiro calcule e^{-x}, depois f(x)):
  • Para x=-4:
    e^{-(-4)}=e^{4}\approx54{,}59815,\qquad f(-4)=\dfrac{1}{1+54{,}59815}=\dfrac{1}{55{,}59815}\approx0{,}017986.
  • Para x=-3:
    e^{-(-3)}=e^{3}\approx20{,}08554,\qquad f(-3)=\dfrac{1}{1+20{,}08554}=\dfrac{1}{21{,}08554}\approx0{,}047426.
  • Para x=-2:
    e^{-(-2)}=e^{2}\approx7{,}38906,\qquad f(-2)=\dfrac{1}{1+7{,}38906}=\dfrac{1}{8{,}38906}\approx0{,}119203.
  • Para x=-1:
    e^{-(-1)}=e^{1}\approx2{,}71828,\qquad f(-1)=\dfrac{1}{1+2{,}71828}=\dfrac{1}{3{,}71828}\approx0{,}268941.
  • Para x=0:
    e^{0}=1,\qquad f(0)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Para x=1:
    e^{-1}\approx0{,}367879,\qquad f(1)=\dfrac{1}{1+0{,}367879}=\dfrac{1}{1{,}367879}\approx0{,}731059.
  • Para x=2:
    e^{-2}\approx0{,}135335,\qquad f(2)=\dfrac{1}{1+0{,}135335}=\dfrac{1}{1{,}135335}\approx0{,}880797.
  • Para x=3:
    e^{-3}\approx0{,}049787,\qquad f(3)=\dfrac{1}{1+0{,}049787}=\dfrac{1}{1{,}049787}\approx0{,}952574.
  • Para x=4:
    e^{-4}\approx0{,}018315,\qquad f(4)=\dfrac{1}{1+0{,}018315}=\dfrac{1}{1{,}018315}\approx0{,}982014.
Observação amiga: note como f(-x)\approx1-f(x) nos valores acima (por exemplo f(-2)\approx0{,}1192 e 1-f(2)\approx0{,}1192). Isso sempre vale exatamente por identidade.

Passo 4

Como desenhar o gráfico na prova (passo a passo para você fazer rápido e garantido):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque x de -4 a 4 (ou mais se quiser). Marque o eixo y de 0 a 1.
  2. Desenhe as assíntotas horizontais: y=0 e y=1 como linhas tracejadas (a função se aproxima delas).
  3. Marque e plote cada ponto (x,f(x)) usando a tabela que eu vou te entregar na resposta final.
  4. Ligue os pontos com uma linha suave, lembrando que:
    • A curva é crescente, passa por (0,0{,}5).
    • Para x\to -\infty a curva vai a 0, para x\to+\infty vai a 1.
    • A curva tem formato em “S” (lenta nas extremidades, rápida na região central).
  5. Se quiser uma verificação rápida: em x= \pm 4 os valores já estão praticamente nas assíntotas (próximos de 0 e 1).

Passo 5

Preparação final para você copiar rápido na folha da prova:
  • Use os pontos calculados no Passo 3.
  • Ao desenhar, não faça linhas retas entre pontos; faça curva suave passando por cada ponto.
  • Marque o ponto central \,(0,0{,}5)\, e as assíntotas y=0 e y=1.

Resposta

Tabela de pontos (pelo menos 9 pontos) para f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}:
x f(x) (aprox.)
-4 0{,}017986
-3 0{,}047426
-2 0{,}119203
-1 0{,}268941
0 0{,}5
1 0{,}731059
2 0{,}880797
3 0{,}952574
4 0{,}982014
Esboço textual do gráfico (colunas correspondem a x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4; linhas mostram y de 1{,}00 até 0{,}00):
1{,}00 | *
0{,}95 | *
0{,}90 | *
0{,}85 |
0{,}80 |
0{,}75 | *
0{,}70 |
0{,}65 |
0{,}60 |
0{,}55 |
0{,}50 | *
0{,}45 |
0{,}40 |
0{,}35 |
0{,}30 |
0{,}25 | *
0{,}20 |
0{,}15 |
0{,}10 | *
0{,}05 | *
0{,}00 |*
Legenda do esboço: cada coluna (da esquerda para a direita) representa x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. O asterisco mostra a posição aproximada de f(x) naquela coluna. Use a tabela numérica para plotar com precisão na sua folha. Boa sorte — você já tem tudo para desenhar certinho na prova!

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