Faça uma tabela com pelo menos 9 pontos e desenhe o gráfico das funções abaixo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Fazer uma tabela com pelo menos 9 pontos (valores de
e os correspondentes ). - Desenhar o gráfico da função usando esses pontos.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outros dados — então vou escolher 9 pontos representativos espalhados simetricamente em torno de
para mostrar bem o comportamento.
Passo 2
Entendendo a função antes de calcular pontos (aula rápida com calma e bom humor).
- A função
é a famosa função logística (ou sigmóide). É uma curva em “S”. - Domínio: todos os reais, isto é,
. - Imagem (valores possíveis):
para todo . Ela se aproxima de para e se aproxima de para . Esses são assíntotas horizontais em e . - Valor no zero:
. - Simetria útil (bem prática na prova):
. Isso ajuda a calcular valores negativos se já tiver os positivos. - Monotonicidade: a função é estritamente crescente (derivada positiva). Uma forma rápida de ver a derivada:
Note que e o denominador é positivo, logo para todo . - Em termos práticos: gráfico em S, cruza
em , sobe rápido perto de e depois se nivela perto de .
Passo 3
Escolha dos pontos: vou usar os pontos
. Para cada um calculemos
passo a passo, usando aproximações usuais de
.
Lembrete de aproximações usadas (valores padrão de
):
Como
usa
, para
usaremos
(pequeno) e para
usaremos
(grande).
Agora os cálculos (cada linha: primeiro calcule
, depois
):
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Observação amiga: note como
nos valores acima (por exemplo
e
). Isso sempre vale exatamente por identidade.
Passo 4
Como desenhar o gráfico na prova (passo a passo para você fazer rápido e garantido):
- Desenhe eixos
e . Marque de a (ou mais se quiser). Marque o eixo de a . - Desenhe as assíntotas horizontais:
e como linhas tracejadas (a função se aproxima delas). - Marque e plote cada ponto
usando a tabela que eu vou te entregar na resposta final. - Ligue os pontos com uma linha suave, lembrando que:
- A curva é crescente, passa por
. - Para
a curva vai a , para vai a . - A curva tem formato em “S” (lenta nas extremidades, rápida na região central).
- A curva é crescente, passa por
- Se quiser uma verificação rápida: em
os valores já estão praticamente nas assíntotas (próximos de e ).
Passo 5
Preparação final para você copiar rápido na folha da prova:
- Use os pontos calculados no Passo 3.
- Ao desenhar, não faça linhas retas entre pontos; faça curva suave passando por cada ponto.
- Marque o ponto central
e as assíntotas e .
Resposta
Tabela de pontos (pelo menos 9 pontos) para
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Esboço textual do gráfico (colunas correspondem a
; linhas mostram
de
até
):
Legenda do esboço: cada coluna (da esquerda para a direita) representa
. O asterisco mostra a posição aproximada de
naquela coluna. Use a tabela numérica para plotar com precisão na sua folha. Boa sorte — você já tem tudo para desenhar certinho na prova!