Exercício 2. (Valor: 4.5) Uma das etapas na produção de certo tipo de vidro baseia-se na obtenção de certo pó composto de micropartículas esféricas com diferentes diâmetros. Supõe-se que esses diâmetros possuam distribuição normal com média
e desvio padrão de
.
a) Para fins de pureza, deseja-se trabalhar com esferas de no máximo
de diâmetro. Qual proporção das esferas está dentro desse padrão?
b) Uma microesfera é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade condicional dela ter diâmetro de pelo menos
dado que ela está dentro do padrão definido no item anterior?
c) Se quisermos que três quartos das esferas estejam dentro do padrão, a quantos micrômetros devemos ajustar o diâmetro máximo?
a) Para fins de pureza, deseja-se trabalhar com esferas de no máximo
b) Uma microesfera é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade condicional dela ter diâmetro de pelo menos
c) Se quisermos que três quartos das esferas estejam dentro do padrão, a quantos micrômetros devemos ajustar o diâmetro máximo?
Passo 1
O enunciado dá uma população de diâmetros de micropartículas com as seguintes informações:
- A distribuição dos diâmetros é normal com média
e desvio padrão . - Item (a): pedir a proporção (probabilidade) de esferas com diâmetro de no máximo
. - Item (b): pedir a probabilidade condicional de que uma esfera tenha diâmetro de pelo menos
dado que ela está dentro do padrão do item (a) (ou seja, dado que seu diâmetro ). - Item (c): pedir qual deve ser o diâmetro máximo (um valor
) para que três quartos ( ) das esferas estejam dentro do padrão (ou seja, ).
Tudo o que precisamos vem daí: a média
, o desvio padrão
, e as três perguntas acima.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo): a distribuição normal padrão e o escore
.
- Se
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . Aqui e . - Para calcular probabilidades do tipo
usamos a transformação (padronização) para a normal padrão :
Essa transformação desloca e escala a variável para ter média
e desvio
.
- A função
representa , a função de distribuição acumulada da normal padrão. Em tabelas ou calculadora você encontra . Algumas propriedades úteis: simetria e valores conhecidos aproximados como e . Essas aproximações vêm de tabelas padrão e são usadas com frequência (regra empírica: cerca de dentro de , o que bate com ).
Passo 3
Resolvendo (a): proporção com diâmetro no máximo
.
- Queremos
com . Padronizo:
- Então
- Usando tabela ou valor conhecido,
- Interpretação: aproximadamente
das esferas têm diâmetro .
Passo 4
Resolvendo (b): probabilidade condicional
.
- Fórmula da probabilidade condicional:
Aqui
e
. Então queremos
- Calculamos o numerador
. Padronizando os dois extremos: para ,
e já sabemos
do passo anterior. Assim
- Usando valores conhecidos
e , obtemos
- O denominador é
(do passo 3). Portanto
- Interpretação: dado que a esfera está dentro do padrão
, a chance de ela ter pelo menos é aproximadamente .
Passo 5
Resolvendo (c): achar
tal que
. (Aqui usamos a inversa da CDF da normal padrão.)
- Padronizamos: queremos
. Então seja tal que . - Procurando em tabela da normal padrão (ou usando valor conhecido), encontramos
pois
.
- Desfazemos a padronização para obter
:
- Substituindo
, e :
- Arredondando de maneira prática, podemos adotar
(ou se preferir uma casa decimal). Isso garante que aproximadamente das esferas tenham diâmetro .
Resposta
a)
(ou
).
b) (ou
).
c) .
b)
c)