Exercício 2. (Valor: 4.5) Uma das etapas na produção de certo tipo de vidro baseia-se na obtenção de certo pó composto de micropartículas esféricas com diferentes diâmetros. Supõe-se que esses diâmetros possuam distribuição normal com média 75 \mu \mathrm{~m} e desvio padrão de 5 \mu \mathrm{~m}.
a) Para fins de pureza, deseja-se trabalhar com esferas de no máximo 80 \mu \mathrm{~m} de diâmetro. Qual proporção das esferas está dentro desse padrão?
b) Uma microesfera é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade condicional dela ter diâmetro de pelo menos 70 \mu \mathrm{~m} dado que ela está dentro do padrão definido no item anterior?
c) Se quisermos que três quartos das esferas estejam dentro do padrão, a quantos micrômetros devemos ajustar o diâmetro máximo?

Passo 1

O enunciado dá uma população de diâmetros de micropartículas com as seguintes informações:
  • A distribuição dos diâmetros é normal com média 75\\ \mu\mathrm{m} e desvio padrão 5\\ \mu\mathrm{m}.
  • Item (a): pedir a proporção (probabilidade) de esferas com diâmetro de no máximo 80\\ \mu\mathrm{m}.
  • Item (b): pedir a probabilidade condicional de que uma esfera tenha diâmetro de pelo menos 70\\ \mu\mathrm{m} dado que ela está dentro do padrão do item (a) (ou seja, dado que seu diâmetro \le 80\\ \mu\mathrm{m}).
  • Item (c): pedir qual deve ser o diâmetro máximo (um valor c) para que três quartos ( 0,75) das esferas estejam dentro do padrão (ou seja, P(X\le c)=0,75).
Tudo o que precisamos vem daí: a média \mu=75\\ \mu\mathrm{m}, o desvio padrão \sigma=5\\ \mu\mathrm{m}, e as três perguntas acima.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo): a distribuição normal padrão e o escore z.
  • Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2). Aqui \mu=75 e \sigma=5.
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X\le x) usamos a transformação (padronização) para a normal padrão Z\sim N(0,1):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa transformação desloca e escala a variável para ter média 0 e desvio 1.
  • A função \Phi(z) representa P(Z\le z), a função de distribuição acumulada da normal padrão. Em tabelas ou calculadora você encontra \Phi(z). Algumas propriedades úteis: simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) e valores conhecidos aproximados como \Phi(1)\approx 0,8413 e \Phi(-1)\approx 0,1587. Essas aproximações vêm de tabelas padrão e são usadas com frequência (regra empírica: cerca de 68\% dentro de \pm1\sigma, o que bate com \Phi(1)-\Phi(-1)\approx0,6826).

Passo 3

Resolvendo (a): proporção com diâmetro no máximo 80\\ \mu\mathrm{m}.
  • Queremos P(X\le 80) com X\sim N(75,5^2). Padronizo:
z=\frac{80-75}{5}=\frac{5}{5}=1.
  • Então
P(X\le 80)=P\!\left(Z\le 1\right)=\Phi(1).
  • Usando tabela ou valor conhecido,
\Phi(1)\approx 0,8413.
  • Interpretação: aproximadamente 84{,}13\% das esferas têm diâmetro \le 80\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 4

Resolvendo (b): probabilidade condicional P(X\ge 70 \mid X\le 80).
  • Fórmula da probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A=\{X\ge 70\} e B=\{X\le 80\}. Então queremos
P(X\ge 70 \mid X\le 80)=\frac{P(70\le X\le 80)}{P(X\le 80)}.
  • Calculamos o numerador P(70\le X\le 80). Padronizando os dois extremos: para 70,
z_{70}=\frac{70-75}{5}=\frac{-5}{5}=-1,
e já sabemos z_{80}=1 do passo anterior. Assim
P(70\le X\le 80)=P(-1\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando valores conhecidos \Phi(1)\approx 0,8413 e \Phi(-1)\approx 0,1587, obtemos
P(70\le X\le 80)\approx 0,8413-0,1587=0,6826.
  • O denominador é P(X\le 80)\approx 0,8413 (do passo 3). Portanto
P(X\ge 70 \mid X\le 80)=\frac{0,6826}{0,8413}\approx 0,811.
  • Interpretação: dado que a esfera está dentro do padrão \le 80\\ \mu\mathrm{m}, a chance de ela ter pelo menos 70\\ \mu\mathrm{m} é aproximadamente 81{,}1\%.

Passo 5

Resolvendo (c): achar c tal que P(X\le c)=0{,}75. (Aqui usamos a inversa da CDF da normal padrão.)
  • Padronizamos: queremos P\!\left(Z\le \frac{c-\mu}{\sigma}\right)=0{,}75. Então seja z^* tal que \Phi(z^*)=0{,}75.
  • Procurando em tabela da normal padrão (ou usando valor conhecido), encontramos
z^*\approx 0{,}6745
pois \Phi(0{,}6745)\approx 0{,}75.
  • Desfazemos a padronização para obter c:
\frac{c-\mu}{\sigma}=z^*\quad\Rightarrow\quad c=\mu+\sigma z^*.
  • Substituindo \mu=75, \sigma=5 e z^*\approx 0{,}6745:
c\approx 75+5\cdot 0{,}6745=75+3{,}3725=78{,}3725\\ \mu\mathrm{m}.
  • Arredondando de maneira prática, podemos adotar c\approx 78{,}37\\ \mu\mathrm{m} (ou 78{,}4\\ \mu\mathrm{m} se preferir uma casa decimal). Isso garante que aproximadamente 75\% das esferas tenham diâmetro \le c.

Resposta

a) P(X\le 80)\approx 0{,}8413 (ou 84{,}13\%).
b) P(X\ge 70 \mid X\le 80)\approx 0{,}811 (ou 81{,}1\%).
c) c\approx 78{,}37\\ \mu\mathrm{m}.

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