(1,0 pts) Verifique que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que
Informações dadas e observações relevantes:
Para que
esteja definida precisamos de
. Também precisamos que
para a raiz quadrada real, mas para derivar formalmente basta
e considerar o domínio onde a expressão está bem definida.
Passo 2
Troquemos a expressão interior da raiz por uma função auxiliar para aplicar o princípio da cadeia. Defina
Então podemos escrever
A ideia: usar a regra da cadeia. Vamos calcular
primeiro e depois a derivada de
.
Passo 3
Calcule
. Usamos que a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
(para
). Assim,
Colocando numa única fração:
Passo 4
Derivada da raiz: para
a derivada em função de
é
A regra da cadeia diz que a derivada composta
é
Aqui
e já temos
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da cadeia:
Colocando tudo junto e substituindo
de volta:
Isso é exatamente a expressão que o enunciado pedia para verificar.