(1,0 pts) Verifique que \frac{d}{d x} \sqrt{x-\ln x}=\frac{x-1}{2 x \sqrt{x-\ln x}}.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que
\frac{d}{dx}\sqrt{x-\ln x}=\frac{x-1}{2x\sqrt{x-\ln x}}.
Informações dadas e observações relevantes:
\text{a função é } f(x)=\sqrt{x-\ln x}.çãé
Para que \ln x esteja definida precisamos de x>0. Também precisamos que x-\ln x>0 para a raiz quadrada real, mas para derivar formalmente basta x>0 e considerar o domínio onde a expressão está bem definida.

Passo 2

Troquemos a expressão interior da raiz por uma função auxiliar para aplicar o princípio da cadeia. Defina
u(x)=x-\ln x.
Então podemos escrever
f(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}.
A ideia: usar a regra da cadeia. Vamos calcular u'(x) primeiro e depois a derivada de u^{1/2}.

Passo 3

Calcule u'(x). Usamos que a derivada de x em relação a x é 1 e a derivada de \ln x é 1/x (para x>0). Assim,
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\ln x)=1-\frac{1}{x}.
Colocando numa única fração:
u'(x)=\frac{x-1}{x}.

Passo 4

Derivada da raiz: para g(u)=u^{1/2} a derivada em função de u é
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
A regra da cadeia diz que a derivada composta f(x)=g(u(x)) é
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g'(u(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}} e já temos u'(x)=\dfrac{x-1}{x}.

Passo 5

Substituindo u(x)=x-\ln x e u'(x)=\dfrac{x-1}{x} na fórmula da cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{x-\ln x}= \frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot \frac{x-1}{x}.
Colocando tudo junto e substituindo u(x) de volta:
\frac{d}{dx}\sqrt{x-\ln x}= \frac{x-1}{2x\sqrt{x-\ln x}}.
Isso é exatamente a expressão que o enunciado pedia para verificar.

Resposta

\displaystyle \frac{x-1}{2x\sqrt{x-\ln x}}

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