Calcule a integral tripla da função
f(x, y, z)=zx+y
no paralelepípedo [1,3] times[0,2] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral tripla[1,3]times[0,2]times[0,1]zx+y,dz,dy,dx
O método é usar o Teorema de Fubini para separar em integrais iteradas nas variáveis z, y e x.

Passo 2

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
integral0^1zx+y,dz =1x+yintegral0^1z,dz =1x+y,gl[z^22gr]0^1 =12(x+y)

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 2:
integral0^212(x+y),dy =12integral0^21x+y,dy =12l[ln(x+y)r]y=0^y=2 =12l(ln(x+2)-ln xr)

Passo 4

Por fim, integramos em x de 1 a 3:
12integral1^3l(ln(x+2)-ln xr),dx
Usamos a primitiva
integralln(x+2),dx=(x+2)ln(x+2)-(x+2), integralln x,dx=xln x - x,
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integrall[ln(x+2)-ln xr]dx =(x+2)ln(x+2)- (x+2);-;l[xln x - xr] =(x+2)ln(x+2)-xln x-2
Avaliaremos de 1 a 3:
F(x)=(x+2)ln(x+2)-xln x-2,
F(3)-F(1) =l[5ln5-3ln3-2r]-l[3ln3-2r] =5ln5-6ln3
Multiplicando por tfrac12 obtemos o valor da integral original.

Resposta

5ln5-6ln32

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