Custo Um fabricante possui uma encomenda de 2000 unidades de pneus para quadriciclos, que podem ser produzidos em dois locais. Assuma que x1 e x2 sejam os números de unidades produzidas nas duas fábricas. A função de custo é modelada por
C=0,25 x1^2+10 x1+0,15 x2^2+12 x2.
Determine quantas unidades devem ser produzidas em cada fábrica de forma a minimizar o custo.

Passo 1

O problema: minimizar o custo C=0,25x1^2+10x1+0,15x2^2+12x2 sujeito à restrição x1+x2=2000. O conteúdo é otimização de função com restrição, e vamos usar eliminação de variável para reduzir a um problema de uma variável.

Passo 2

Da restrição x1+x2=2000 isolamos x2:
x2=2000-x1
Substituímos na função de custo para obter C em função de x1 apenas.

Passo 3

Expandindo e coletando termos em x1 obtemos
C(x1)=0,25x1^2+10x1+0,15(2000-x1)^2+12(2000-x1)
que simplifica para
C(x1)=0,4x1^2-602x1+624000 .

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos em relação a x1:
dCdx1=0,8x1-602
Igualando a zero dá
0,8x1-602=0
o que leva a
x1=6020,8=752,5 .

Passo 5

Usando x2=2000-x1 vem
x2=2000-752,5=1247,5
Como a segunda derivada d^2C/dx1^2=0,8>0, temos realmente um mínimo de custo.

Passo 6

Resposta

Produzir 752,5 unidades na fábrica 1 e 1247,5 unidades na fábrica 2.

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