(PUC) A um aluno foram propostas as questões:
A- Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é: (
) (sendo d o divisor e r o resto).
B- A soma de 3 números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 .
C - O produto de 2 números ímpares consecutivos, aumentando de uma unidade é sempre um quadrado perfeito.
O aluno respondeu que 3 questões propostas são verdadeiras. Responda você:
(a) o aluno acertou somente em relação à terceira questão.
(b) o aluno acertou somente em relação à primeira questão.
(c) acertou integralmente.
(d) o aluno acertou somente, em relação à segunda questão.
(e) n.d.a
B- A soma de 3 números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 .
C - O produto de 2 números ímpares consecutivos, aumentando de uma unidade é sempre um quadrado perfeito.
(a) o aluno acertou somente em relação à terceira questão.
(b) o aluno acertou somente em relação à primeira questão.
(c) acertou integralmente.
(d) o aluno acertou somente, em relação à segunda questão.
(e) n.d.a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foram propostas três afirmações, nomeadas
, e . - Afirmação
: "Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é: " (sendo o divisor e o resto). - Afirmação
: “A soma de números naturais consecutivos é sempre divisível por .” - Afirmação
: “O produto de números ímpares consecutivos, aumentando de uma unidade é sempre um quadrado perfeito.” (isto é, pegar o produto dos dois ímpares consecutivos e somar ).
- Afirmação
- O aluno respondeu que as
afirmações são verdadeiras. - A pergunta do enunciado é: qual das alternativas (a)–(e) está correta, i.e., o aluno acertou quais afirmações?
Observações importantes extraídas do enunciado:
- Em
está explícito que o resto é não nulo, logo . - Queremos verificar cada uma das três afirmações e concluir se todas são verdadeiras ou não.
Passo 2
Analisando a afirmação
. Vou explicar o que significa dividir com resto e por que
é o menor número a ser somado para obter divisão exata.
- Pelo algoritmo da divisão, se um número
(o dividendo) é dividido por (o divisor) com quociente inteiro e resto , então vale a relação
com
. Como o enunciado diz que o resto não é nulo, aqui temos
.
- Queremos achar o menor inteiro positivo
tal que seja divisível por . Isso significa que existe um inteiro com
Substituindo
,
- Para
ser positivo precisamos de , pois se então . O menor inteiro que satisfaz isso é . Substituindo obtemos
- Para qualquer
obtemos . Portanto o menor inteiro positivo que torna múltiplo de é exatamente .
Exemplo numérico para intuir: dividir
por
dá quociente
e resto
. Então
. De fato
é divisível por
, e qualquer número menor que
somado a
não produziria um múltiplo de
.
Conclusão: a afirmação
é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação
. Vou demonstrar com álgebra simples por que a soma de três naturais consecutivos é sempre múltipla de
.
- Seja
um número natural (pode ser ). Os três naturais consecutivos são
- A soma deles é
- Como
é claramente um múltiplo de , a soma é sempre divisível por , para qualquer natural.
Exemplo: se
, temos
, e
é divisível por
.
Conclusão: a afirmação
é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação
. Vou mostrar que o produto de dois ímpares consecutivos, quando aumentamos esse produto em
, sempre resulta num quadrado perfeito.
- Dois inteiros ímpares consecutivos podem ser escritos na forma
onde
é um inteiro (por exemplo, se
temos
e
).
- O produto desses dois ímpares é
Faço a expansão:
- Agora somo
ao produto:
- Repare que
. Assim
ou seja, é o quadrado perfeito de
.
Exemplo: para
os ímpares são
e
; produto
; somando
dá
, que é
. Funciona para qualquer
.
Conclusão: a afirmação
é verdadeira.
Passo 5
Juntando as conclusões das três análises:
-
é verdadeira. -
é verdadeira. -
é verdadeira.
O aluno afirmou que as três proposições são verdadeiras; portanto o aluno acertou integralmente.
Parabéns — apesar do desespero, aqui a resposta dele estava certíssima! Vamos com confiança para a prova 😃
Resposta
(c)