(PUC) A um aluno foram propostas as questões:
A- Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é: ( \mathrm{d}-\mathrm{r} ) (sendo d o divisor e r o resto).
B- A soma de 3 números naturais consecutivos é sempre divisível por 3 .
C - O produto de 2 números ímpares consecutivos, aumentando de uma unidade é sempre um quadrado perfeito.
O aluno respondeu que 3 questões propostas são verdadeiras. Responda você:
(a) o aluno acertou somente em relação à terceira questão.
(b) o aluno acertou somente em relação à primeira questão.
(c) acertou integralmente.
(d) o aluno acertou somente, em relação à segunda questão.
(e) n.d.a

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foram propostas três afirmações, nomeadas A, B e C.
    • Afirmação A: "Numa divisão, cujo resto não é nulo, o menor número que se deve adicionar ao dividendo para que ela se torne exata é: (d-r)" (sendo d o divisor e r o resto).
    • Afirmação B: “A soma de 3 números naturais consecutivos é sempre divisível por 3.”
    • Afirmação C: “O produto de 2 números ímpares consecutivos, aumentando de uma unidade é sempre um quadrado perfeito.” (isto é, pegar o produto dos dois ímpares consecutivos e somar 1).
  • O aluno respondeu que as 3 afirmações são verdadeiras.
  • A pergunta do enunciado é: qual das alternativas (a)–(e) está correta, i.e., o aluno acertou quais afirmações?
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • Em A está explícito que o resto r é não nulo, logo 0 < r < d.
  • Queremos verificar cada uma das três afirmações e concluir se todas são verdadeiras ou não.

Passo 2

Analisando a afirmação A. Vou explicar o que significa dividir com resto e por que (d-r) é o menor número a ser somado para obter divisão exata.
  • Pelo algoritmo da divisão, se um número N (o dividendo) é dividido por d (o divisor) com quociente inteiro q e resto r, então vale a relação
N = d q + r,
com 0 \le r < d. Como o enunciado diz que o resto não é nulo, aqui temos 0 < r < d.
  • Queremos achar o menor inteiro positivo x tal que N+x seja divisível por d. Isso significa que existe um inteiro m com
N + x = d m.
Substituindo N = d q + r,
d q + r + x = d m \quad\Rightarrow\quad x = d(m-q) - r.
  • Para x ser positivo precisamos de m-q \ge 1, pois se m-q = 0 então x = -r < 0. O menor inteiro m que satisfaz isso é m = q+1. Substituindo m=q+1 obtemos
x = d(q+1-q) - r = d - r.
  • Para qualquer m \ge q+1 obtemos x \ge d - r. Portanto o menor inteiro positivo x que torna N+x múltiplo de d é exatamente d-r.
Exemplo numérico para intuir: dividir N = 17 por d = 5 dá quociente q=3 e resto r=2. Então d-r = 5-2 = 3. De fato 17+3=20 é divisível por 5, e qualquer número menor que 3 somado a 17 não produziria um múltiplo de 5.
Conclusão: a afirmação A é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação B. Vou demonstrar com álgebra simples por que a soma de três naturais consecutivos é sempre múltipla de 3.
  • Seja n um número natural (pode ser 0,1,2,\dots). Os três naturais consecutivos são
n,\quad n+1,\quad n+2.
  • A soma deles é
n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1).
  • Como 3(n+1) é claramente um múltiplo de 3, a soma é sempre divisível por 3, para qualquer n natural.
Exemplo: se n=4, temos 4+5+6=15, e 15 é divisível por 3.
Conclusão: a afirmação B é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação C. Vou mostrar que o produto de dois ímpares consecutivos, quando aumentamos esse produto em 1, sempre resulta num quadrado perfeito.
  • Dois inteiros ímpares consecutivos podem ser escritos na forma
2k+1 \quad\text{e}\quad 2k+3,
onde k é um inteiro (por exemplo, se k=1 temos 3 e 5).
  • O produto desses dois ímpares é
(2k+1)(2k+3).
Faço a expansão:
(2k+1)(2k+3) = 4k^2 + 8k + 3.
  • Agora somo 1 ao produto:
(2k+1)(2k+3) + 1 = 4k^2 + 8k + 4 = 4\bigl(k^2 + 2k + 1\bigr).
  • Repare que k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2. Assim
(2k+1)(2k+3) + 1 = 4 (k+1)^2 = \bigl(2(k+1)\bigr)^2,
ou seja, é o quadrado perfeito de 2(k+1).
Exemplo: para k=1 os ímpares são 3 e 5; produto 3\cdot5=15; somando 1 16, que é 4^2. Funciona para qualquer k.
Conclusão: a afirmação C é verdadeira.

Passo 5

Juntando as conclusões das três análises:
  • A é verdadeira.
  • B é verdadeira.
  • C é verdadeira.
O aluno afirmou que as três proposições são verdadeiras; portanto o aluno acertou integralmente.
Parabéns — apesar do desespero, aqui a resposta dele estava certíssima! Vamos com confiança para a prova 😃

Resposta

(c)

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