(FUVEST) O número de divisores do número 40 é:
(a) 8
(b) 6
(c) 4
(d) 2
(e) 20

Passo 1

O enunciado pede: “O número de divisores do número 40 é:” e dá as alternativas. Informação dada: o número cujo número de divisores deve ser contado é 40. A tarefa é determinar quantos divisores positivos tem 40 e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Conceito útil (aula rapidinha): para contar divisores usamos a fatoração em primos de um número. Se um inteiro positivo n tem fatoração
n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i},
onde cada p_i é um primo distinto e cada \alpha_i é um inteiro não negativo, então o número de divisores positivos de n é
d(n)=\prod_{i=1}^{k} (\alpha_i+1).
Explicando por que: cada divisor é obtido escolhendo, para cada primo p_i, um expoente entre 0 e \alpha_i. Isso dá \alpha_i+1 escolhas independentes para cada primo, multiplicando as possibilidades.

Passo 3

Vamos fatorar 40 em primos passo a passo (sem pular etapas). Começando por dividir por 2, o menor primo:
40\div2=20,\qquad 20\div2=10,\qquad 10\div2=5.
Agora 5 é primo e não é divisível por 2. Assim chegamos à fatoração
40=2^{3}\cdot5^{1}.
Aqui os expoentes são \alpha_1=3 (para 2) e \alpha_2=1 (para 5).

Passo 4

Aplicando a fórmula dos divisores:
d(40)=(3+1)\cdot(1+1)=4\cdot2=8.
Interpretação prática: para o primo 2 há quatro escolhas de expoente \{0,1,2,3\} e para 5 há duas escolhas \{0,1\}; multiplicando dá 8 divisores possíveis.

Passo 5

Verificação listando os divisores (opcional, só para conferir): os divisores positivos de 40 são
1,\;2,\;4,\;5,\;8,\;10,\;20,\;40,
que confirma as 8 possibilidades obtidas pela fórmula.

Resposta

(a) 8

Exercícios relacionados