(PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reservatório, uma na razão de
por hora e a outra na razão de
a cada 5 horas. Se o reservatório tem
, em quantas horas ele estará cheio?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados:
- A primeira torneira joga água à razão de
por hora. - A segunda torneira joga água à razão de
a cada horas. - A capacidade do reservatório é
.
- A primeira torneira joga água à razão de
-
Pergunta:
- Em quantas horas o reservatório ficará cheio?
Passo 2
Vamos definir variáveis para organizar a ideia (sempre útil na prova):
-
= taxa da primeira torneira em . -
= taxa da segunda torneira em . -
= taxa combinada das duas torneiras em . -
= volume do reservatório em (aqui ). -
= tempo necessário em horas.
Observação didática rápida: quando duas fontes enchem um recipiente simultaneamente, as taxas se somam. Por exemplo, se uma enche
e outra
, juntas enchem
. Essa propriedade vem do fato de que volume acumulado por hora é aditivo.
Passo 3
Converter a taxa da segunda torneira para unidades compatíveis (
). A segunda fornece
em
horas, logo
A primeira já é
Passo 4
Calcular a taxa combinada somando as duas taxas (pois ambas contribuem simultaneamente):
Isso significa que, juntas, as torneiras colocam
metros cúbicos por hora no reservatório.
Passo 5
Relacionamento entre volume, taxa e tempo: se a taxa combinada é
e o tempo é
, o volume total colocado é
. Para encher o reservatório de volume
temos
Isolando
,
Passo 6
Substituir
e
:
Fazendo a simplificação passo a passo:
Portanto
horas.
Passo 7
Checagem rápida (para ter segurança na prova): a taxa combinada é
. Em
horas isso dá
, que é exatamente a capacidade; está coerente. Também faz sentido: se apenas a primeira enchesse levaria
horas, com a segunda ajudando o tempo diminui para
horas.
Resposta
b) 10 horas