(PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reservatório, uma na razão de 1 \mathrm{~m}^{3} por hora e a outra na razão de 1 \mathrm{~m}^{3} a cada 5 horas. Se o reservatório tem 12 \mathrm{~m}^{3}, em quantas horas ele estará cheio?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • A primeira torneira joga água à razão de 1\\ \mathrm{m}^3 por hora.
    • A segunda torneira joga água à razão de 1\\ \mathrm{m}^3 a cada 5 horas.
    • A capacidade do reservatório é 12\\ \mathrm{m}^3.
  • Pergunta:
    • Em quantas horas o reservatório ficará cheio?

Passo 2

Vamos definir variáveis para organizar a ideia (sempre útil na prova):
  • R_1 = taxa da primeira torneira em \mathrm{m}^3/\text{h}.
  • R_2 = taxa da segunda torneira em \mathrm{m}^3/\text{h}.
  • R = taxa combinada das duas torneiras em \mathrm{m}^3/\text{h}.
  • V = volume do reservatório em \mathrm{m}^3 (aqui V=12).
  • t = tempo necessário em horas.
Observação didática rápida: quando duas fontes enchem um recipiente simultaneamente, as taxas se somam. Por exemplo, se uma enche 3\\ \mathrm{u}/\text{h} e outra 2\\ \mathrm{u}/\text{h}, juntas enchem 5\\ \mathrm{u}/\text{h}. Essa propriedade vem do fato de que volume acumulado por hora é aditivo.

Passo 3

Converter a taxa da segunda torneira para unidades compatíveis ( \mathrm{m}^3/\text{h}). A segunda fornece 1\\ \mathrm{m}^3 em 5 horas, logo
R_2 = \frac{1}{5}\\ \mathrm{m}^3/\text{h}.
A primeira já é
R_1 = 1\\ \mathrm{m}^3/\text{h}.

Passo 4

Calcular a taxa combinada somando as duas taxas (pois ambas contribuem simultaneamente):
R = R_1 + R_2 = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}\\ \mathrm{m}^3/\text{h}.
Isso significa que, juntas, as torneiras colocam \tfrac{6}{5} metros cúbicos por hora no reservatório.

Passo 5

Relacionamento entre volume, taxa e tempo: se a taxa combinada é R e o tempo é t, o volume total colocado é R\cdot t. Para encher o reservatório de volume V temos
R\cdot t = V.
Isolando t,
t=\frac{V}{R}.

Passo 6

Substituir V=12 e R=\tfrac{6}{5}:
t=\frac{12}{\tfrac{6}{5}} = 12\cdot\frac{5}{6}.
Fazendo a simplificação passo a passo:
12\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{12}{6}\right)\cdot5=2\cdot5=10.
Portanto t=10 horas.

Passo 7

Checagem rápida (para ter segurança na prova): a taxa combinada é \tfrac{6}{5}=1{,}2\\ \mathrm{m}^3/\text{h}. Em 10 horas isso dá 10\times1{,}2=12\\ \mathrm{m}^3, que é exatamente a capacidade; está coerente. Também faz sentido: se apenas a primeira enchesse levaria 12 horas, com a segunda ajudando o tempo diminui para 10 horas.

Resposta

b) 10 horas

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