(U. F. Juiz de Fora-MG) Em um certo restaurante, as pizzas são feitas em fôrmas de base circular. Os preços das pizzas do mesmo tipo variam proporcionalmente em relação à área da base da fôrma. Se uma pizza feita numa forma cuja base tem 20 cm de diâmetro custa \mathrm{R} \ 3,60 , então uma outra pizza, do mesmo tipo, feita numa fôrma cuja base tem 30 cm de diâmetro, deve custar: a) \(R \\) 5,40
b) \mathrm{R} \ 7,90$
c) \mathrm{R} \ 8,10$
d) \mathrm{R} \ 8,50$
e) \mathrm{R} \ 8,90$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que se calcule o preço da pizza maior:
  • As formas têm base circular e o preço varia proporcionalmente à área da base da fôrma.
  • Diâmetro da fôrma menor: d_1=20\\ \text{cm}.
  • Preço da pizza feita nessa fôrma: \mathrm{R}\$ 3{,}60.
  • Diâmetro da fôrma maior: d_2=30\\ \text{cm}.
    O que se pergunta: qual será o preço da pizza feita na fôrma de diâmetro d_2=30\\ \text{cm}? (Escolher entre as alternativas fornecidas.)

Passo 2

Entender a relação entre área do círculo e diâmetro, e o que significa “preço proporcional à área”.
  • Área de um círculo: a fórmula é
A=\pi r^{2},
onde A é a área e r é o raio do círculo. Aqui r é a metade do diâmetro, isto é r=\dfrac{d}{2}.
  • Escrever a área em função do diâmetro: substituindo r=\dfrac{d}{2} em A=\pi r^{2}
A=\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^{2}=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Isso é útil porque os dados vêm em diâmetros.
  • “Preço proporcional à área” significa que existe uma constante k tal que
P = kA,
onde P é o preço e A a área. Assim, para duas pizzas do mesmo tipo,
\dfrac{P_{2}}{P_{1}}=\dfrac{A_{2}}{A_{1}}.
Ou seja, o preço escala na mesma razão que a área.

Passo 3

Calcular a razão entre as áreas usando os diâmetros fornecidos.
Usando A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}, para as duas formas:
\dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\dfrac{\dfrac{\pi d_{2}^{2}}{4}}{\dfrac{\pi d_{1}^{2}}{4}}=\dfrac{d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}}.
Substituindo d_{1}=20 e d_{2}=30 (em cm, a unidade cancela na razão):
\dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\dfrac{30^{2}}{20^{2}}=\left(\dfrac{30}{20}\right)^{2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25.

Passo 4

Usar a proporcionalidade de preços: P_{2}=P_{1}\cdot \dfrac{A_{2}}{A_{1}}.
Sabendo P_{1}=\mathrm{R}\$ 3{,}60 e \dfrac{A_{2}}{A_{1}}=\dfrac{9}{4},
P_{2}=\mathrm{R}\$\,3{,}60\cdot\dfrac{9}{4}.
Calcule passo a passo sem calculadora:
\mathrm{R}\$\,3{,}60\cdot\dfrac{9}{4}=\mathrm{R}\$\left(\dfrac{3{,}60}{4}\right)\cdot 9.
Primeiro \dfrac{3{,}60}{4}=0{,}90. Depois 0{,}90\cdot 9=8{,}10. Assim
P_{2}=\mathrm{R}\$\,8{,}10.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor \mathrm{R}\$\,8{,}10 corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) \mathrm{R}\$ 8{,}10

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