(PUC-RJ) Luciana saiu de casa com algum dinheiro na carteira. Primeiro ela gastou metade do que tinha no supermercado, depois gastou
40,00
\frac{1}{3}
\frac{1}{7}$ do dinheiro inicial. Quanto dinheiro Luciana tinha ao sair de casa?
Passo 1
O enunciado diz que Luciana saiu de casa com uma quantia inicial de dinheiro (desconhecida). Em seguida, foram feitas três operações nessa ordem:
- primeiro ela gastou metade do que tinha no supermercado;
- depois gastou
na farmácia; - finalmente gastou mais
do que restava no jornaleiro; - ao voltar para casa ela tinha
do dinheiro inicial.
O que o problema pede: determinar quanto dinheiro Luciana tinha ao sair de casa (a quantia inicial).
Informações relevantes dadas:
- gasto 1: metade do inicial;
- gasto 2:
; - gasto 3: um terço do restante após os dois gastos anteriores;
- resto final:
do inicial.
Passo 2
Definir uma variável para organizar a conta. Seja
a quantia inicial de dinheiro que Luciana tinha ao sair de casa. Ou seja,
representa exatamente “quanto ela tinha no bolso antes de começar a gastar”.
Explicação didática rápida: usar uma letra para o valor inicial facilita transformar as frases do enunciado em expressões algébricas. Cada ação (gastar metade, subtrair 40, gastar um terço do que resta) vira uma operação sobre
.
Passo 3
Transformar a primeira ação em expressão matemática. Ela gastou metade do que tinha, então ficou com a outra metade. O que sobrou depois do supermercado é
Aqui expliquei: gastar metade de
significa tirar
; o restante é
.
Passo 4
Aplicar a segunda ação (farmácia). Depois do supermercado ela tinha
e gastou
na farmácia. Então, o que restou após a farmácia é
Observação didática: subtraiu-se
da quantidade que havia sobrado. Sempre respeitar a ordem: operações são sequenciais.
Passo 5
Aplicar a terceira ação (jornaleiro) e igualar ao final conhecido. No jornaleiro ela gastou
do que restava naquele momento, ou seja, gastou
. Portanto o que sobrou depois do jornaleiro é a parte que restou daquela quantidade, isto é:
O enunciado afirma que esse resto final é
do dinheiro inicial
. Assim montamos a equação (a tradução exata do enunciado para álgebra):
Passo 6
Resolver a equação passo a passo. Primeiro simplifico o lado esquerdo:
Então a equação fica
Para eliminar frações, multiplico ambos os lados por
(mmc de
e
):
Calculo cada termo:
Portanto a equação torna-se
Isolando
:
Explicação didática: multiplicar por um número comum remove denominadores e facilita os cálculos com inteiros; depois isola-se a variável juntando termos com
de um lado e números do outro.
Passo 7
Checagem numérica rápida (sempre bom verificar em prova): se
,
- depois do supermercado (gastou metade): sobra
; - depois da farmácia (gastou
): sobra ; - no jornaleiro gastou
de , ou seja , sobrando .
Eé exatamente de (pois ). Tudo confere.