(PUC-RJ) Luciana saiu de casa com algum dinheiro na carteira. Primeiro ela gastou metade do que tinha no supermercado, depois gastou \mathrm{R} \ 40,00 na farmácia e finalmente gastou maisá\frac{1}{3} do que restava no jornaleiro voltando para casa com\frac{1}{7}$ do dinheiro inicial. Quanto dinheiro Luciana tinha ao sair de casa?

Passo 1

O enunciado diz que Luciana saiu de casa com uma quantia inicial de dinheiro (desconhecida). Em seguida, foram feitas três operações nessa ordem:
  • primeiro ela gastou metade do que tinha no supermercado;
  • depois gastou \text{R\$ }40,00 na farmácia;
  • finalmente gastou mais \tfrac{1}{3} do que restava no jornaleiro;
  • ao voltar para casa ela tinha \tfrac{1}{7} do dinheiro inicial.
O que o problema pede: determinar quanto dinheiro Luciana tinha ao sair de casa (a quantia inicial).
Informações relevantes dadas:
  • gasto 1: metade do inicial;
  • gasto 2: \text{R\$ }40,00;
  • gasto 3: um terço do restante após os dois gastos anteriores;
  • resto final: \tfrac{1}{7} do inicial.

Passo 2

Definir uma variável para organizar a conta. Seja x a quantia inicial de dinheiro que Luciana tinha ao sair de casa. Ou seja, x representa exatamente “quanto ela tinha no bolso antes de começar a gastar”.
Explicação didática rápida: usar uma letra para o valor inicial facilita transformar as frases do enunciado em expressões algébricas. Cada ação (gastar metade, subtrair 40, gastar um terço do que resta) vira uma operação sobre x.

Passo 3

Transformar a primeira ação em expressão matemática. Ela gastou metade do que tinha, então ficou com a outra metade. O que sobrou depois do supermercado é
\frac{x}{2}.
Aqui expliquei: gastar metade de x significa tirar \frac{1}{2}x; o restante é x-\frac{1}{2}x=\frac{x}{2}.

Passo 4

Aplicar a segunda ação (farmácia). Depois do supermercado ela tinha \frac{x}{2} e gastou \text{R\$ }40,00 na farmácia. Então, o que restou após a farmácia é
\frac{x}{2}-40.
Observação didática: subtraiu-se 40 da quantidade que havia sobrado. Sempre respeitar a ordem: operações são sequenciais.

Passo 5

Aplicar a terceira ação (jornaleiro) e igualar ao final conhecido. No jornaleiro ela gastou \tfrac{1}{3} do que restava naquele momento, ou seja, gastou \tfrac{1}{3}\big(\frac{x}{2}-40\big). Portanto o que sobrou depois do jornaleiro é a parte que restou daquela quantidade, isto é:
\left(\frac{x}{2}-40\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{x}{2}-40\right)\cdot\frac{2}{3}.
O enunciado afirma que esse resto final é \tfrac{1}{7} do dinheiro inicial x. Assim montamos a equação (a tradução exata do enunciado para álgebra):
\frac{2}{3}\left(\frac{x}{2}-40\right)=\frac{x}{7}.

Passo 6

Resolver a equação passo a passo. Primeiro simplifico o lado esquerdo:
\frac{2}{3}\left(\frac{x}{2}-40\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{x}{2}-\frac{2}{3}\cdot40=\frac{x}{3}-\frac{80}{3}.
Então a equação fica
\frac{x}{3}-\frac{80}{3}=\frac{x}{7}.
Para eliminar frações, multiplico ambos os lados por 21 (mmc de 3 e 7):
21\left(\frac{x}{3}-\frac{80}{3}\right)=21\cdot\frac{x}{7}.
Calculo cada termo:
21\cdot\frac{x}{3}=7x,\qquad 21\cdot\frac{80}{3}=560,\qquad 21\cdot\frac{x}{7}=3x.
Portanto a equação torna-se
7x-560=3x.
Isolando x:
7x-3x=560\quad\Rightarrow\quad 4x=560\quad\Rightarrow\quad x=\frac{560}{4}=140.
Explicação didática: multiplicar por um número comum remove denominadores e facilita os cálculos com inteiros; depois isola-se a variável juntando termos com x de um lado e números do outro.

Passo 7

Checagem numérica rápida (sempre bom verificar em prova): se x=140,
  • depois do supermercado (gastou metade): sobra \tfrac{140}{2}=70;
  • depois da farmácia (gastou \text{R\$ }40): sobra 70-40=30;
  • no jornaleiro gastou \tfrac{1}{3} de 30, ou seja 10, sobrando 20.
    E 20 é exatamente \tfrac{1}{7} de 140 (pois \tfrac{140}{7}=20). Tudo confere.

Resposta

\text{R\$ }140,00

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