(PUC-RS) A razão entre as arestas de dois cubos é \frac{1}{3}. A razão entre o volume do maior e do menor é:
a) \frac{1}{9}
b) \frac{1}{3}
c) 3
d) 9
e) 27

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma coisa só. Informações fornecidas:
  • A razão entre as arestas (comprimentos dos lados) de dois cubos é \dfrac{1}{3}.
    Pergunta pedida:
  • Determinar a razão entre o volume do maior e o volume do menor.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula e significado das variáveis). O volume V de um cubo é dado por
V = s^3,
onde s é o comprimento da aresta do cubo. Isso acontece porque o cubo tem três dimensões iguais: comprimento, largura e altura, cada uma com tamanho s; o volume é o produto dessas três dimensões.

Passo 3

Vamos nomear as quantidades para não confundir. Seja s_{\text{menor}} a aresta do cubo menor e s_{\text{maior}} a aresta do cubo maior. O enunciado nos dá:
\frac{s_{\text{menor}}}{s_{\text{maior}}}=\frac{1}{3}.
Os volumes correspondentes são
V_{\text{menor}}=s_{\text{menor}}^3,\qquad V_{\text{maior}}=s_{\text{maior}}^3.
A razão pedida é
\frac{V_{\text{maior}}}{V_{\text{menor}}}=\frac{s_{\text{maior}}^3}{s_{\text{menor}}^3}=\left(\frac{s_{\text{maior}}}{s_{\text{menor}}}\right)^3.

Passo 4

A partir de \dfrac{s_{\text{menor}}}{s_{\text{maior}}}=\dfrac{1}{3}, invertemos para obter
\frac{s_{\text{maior}}}{s_{\text{menor}}}=3.
Agora aplicamos o cubo, conforme a fórmula do passo anterior:
\frac{V_{\text{maior}}}{V_{\text{menor}}}=\left(3\right)^3=27.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida: quando se altera uma dimensão linear (aresta) por um fator k, o volume muda por um fator k^3. Aqui k=3 (o maior tem aresta 3 vezes a do menor), então o volume do maior é 3^3=27 vezes o do menor.

Resposta

e) \,27

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