(II) (PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas pessoas não usam o produto B e que 2 dessas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B ? e) 6

Passo 1

O enunciado diz que 15 pessoas usam pelo menos um dos produtos A ou B, que 10 dessas não usam B (logo usam só A) e que 2 não usam A (logo usam só B). O conteúdo é o princípio da inclusão-exclusão para conjuntos, e vamos precisar calcular a interseção A∩B.

Passo 2

Vamos chamar de A o conjunto de pessoas que usam o produto A e de B o conjunto de pessoas que usam o produto B. Temos então: |A∪B|=15, |A∖B|=10 e |B∖A|=2. Também sabemos que |A|=|A∖B|+|A∩B| e |B|=|B∖A|+|A∩B|.

Passo 3

Pelo princípio da inclusão-exclusão,
|Acup B| = |A| + |B| - |A cap B|
Substituindo |A| e |B| em função de |A∖B|, |B∖A| e x=|A∩B|, temos
15 = (10 + x) + (2 + x) - x

Passo 4

Agora é só resolver para x. Somando e simplificando:
15 = 10 + 2 + x
15 = 12 + x
x = 15 - 12 = 3

Resposta

3

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