(PUC-RJ) Determine para quais valores reais de
a inequação é satisfeita:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores reais de
que satisfazem a inequação
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios; o denominador
não pode ser zero, portanto . - A incógnita
é um número real; a tarefa é encontrar o conjunto de todos os que tornam a desigualdade verdadeira. - A inequação envolve comparar uma fração com o número
.
Passo 2
Estratégia (em linguagem simples): trazer tudo para um lado para obter uma única razão e então estudar o sinal dessa razão. Isso transforma a inequação em uma desigualdade do tipo “uma razão é menor que zero”, o que permite usar análise de sinais (intervalos determinados pelas raízes do numerador e do denominador).
Vamos subtrair
de ambos os lados e combinar as frações:
Para somar/subtrair frações, colocamos no mesmo denominador
:
Passo 3
Simplificar o numerador:
Agora fatoramos o polinômio quadrático
. Para fatorar, procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
: esses números são
e
. Logo
Passo 4
Substituindo a fatoração na inequação obtém-se
Explicando o que isso significa: agora devemos encontrar os
para os quais essa fração é negativa. Os pontos que fazem algum fator zero (ou o denominador zero) são pontos críticos que dividem a reta real em intervalos:
(denominador),
e
(numerador). Esses pontos particionam
nos intervalos
Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo.
Passo 5
Analisar o sinal em cada intervalo usando um ponto-teste e raciocínio sobre sinais dos fatores
,
e
.
- Intervalo
. Escolha .
-
(negativo), -
(negativo), -
(negativo).
Produto do numerador: negativo × negativo = positivo. Portanto a fração é positivo dividido por negativo = negativo. Conclusão: paraa fração é negativa, então a inequação é satisfeita nesse intervalo.
- Intervalo
. Escolha .
-
(negativo), -
(negativo), -
(positivo).
Produto do numerador: positivo. Fração: positivo/positivo = positivo. Conclusão: não satisfaz.
- Intervalo
. Escolha .
-
(positivo), -
(negativo), -
(positivo).
Produto do numerador: positivo × negativo = negativo. Fração: negativo/positivo = negativo. Conclusão: satisfaz.
- Intervalo
. Escolha .
-
(positivo), -
(positivo), -
(positivo).
Produto do numerador: positivo. Fração: positivo/positivo = positivo. Conclusão: não satisfaz.
Passo 6
Tratar os pontos críticos:
-
está fora do domínio (denominador zero), então não pode ser incluído. -
e anulam o numerador, fazendo a expressão igual a . Como a inequação é estrita “<0”, pontos em que a expressão vale não satisfazem a desigualdade. (Isso corresponde, no original, a em e .)
Portanto os intervalos que satisfazem a inequação são exatamente aqueles onde encontramos sinal negativo:
e
.
Passo 7
Verificação rápida com exemplos numéricos:
- Para
(está em ): (verdadeiro). - Para
(está em ): calcular dá um valor menor que (confirmação do teste de sinal).