(PUC-RJ) Determine para quais valores reais de x a inequação é satisfeita:
\frac{x^{2}-6 x+11}{x-1}<1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores reais de x que satisfazem a inequação
\frac{x^{2}-6 x+11}{x-1}<1.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios; o denominador \,x-1\, não pode ser zero, portanto x\neq1.
  • A incógnita x é um número real; a tarefa é encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam a desigualdade verdadeira.
  • A inequação envolve comparar uma fração com o número 1.

Passo 2

Estratégia (em linguagem simples): trazer tudo para um lado para obter uma única razão e então estudar o sinal dessa razão. Isso transforma a inequação em uma desigualdade do tipo “uma razão é menor que zero”, o que permite usar análise de sinais (intervalos determinados pelas raízes do numerador e do denominador).
Vamos subtrair 1 de ambos os lados e combinar as frações:
\frac{x^{2}-6 x+11}{x-1}-1<0.
Para somar/subtrair frações, colocamos no mesmo denominador (x-1):
\frac{x^{2}-6 x+11-(x-1)}{x-1}<0.

Passo 3

Simplificar o numerador:
x^{2}-6x+11-(x-1)=x^{2}-6x+11-x+1=x^{2}-7x+12.
Agora fatoramos o polinômio quadrático x^{2}-7x+12. Para fatorar, procuramos dois números cujo produto seja 12 e cuja soma seja -7: esses números são -3 e -4. Logo
x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).

Passo 4

Substituindo a fatoração na inequação obtém-se
\frac{(x-3)(x-4)}{x-1}<0.
Explicando o que isso significa: agora devemos encontrar os x para os quais essa fração é negativa. Os pontos que fazem algum fator zero (ou o denominador zero) são pontos críticos que dividem a reta real em intervalos: x=1 (denominador), x=3 e x=4 (numerador). Esses pontos particionam \mathbb{R} nos intervalos
(-\infty,1),\quad (1,3),\quad (3,4),\quad (4,\infty).
Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então basta testar um ponto em cada intervalo.

Passo 5

Analisar o sinal em cada intervalo usando um ponto-teste e raciocínio sobre sinais dos fatores (x-3), (x-4) e (x-1).
  1. Intervalo (-\infty,1). Escolha x=0.
  • (x-3) = 0-3 = -3 (negativo),
  • (x-4) = 0-4 = -4 (negativo),
  • (x-1) = 0-1 = -1 (negativo).
    Produto do numerador: negativo × negativo = positivo. Portanto a fração é positivo dividido por negativo = negativo. Conclusão: para x\in(-\infty,1) a fração é negativa, então a inequação é satisfeita nesse intervalo.
  1. Intervalo (1,3). Escolha x=2.
  • (x-3)=2-3=-1 (negativo),
  • (x-4)=2-4=-2 (negativo),
  • (x-1)=2-1=1 (positivo).
    Produto do numerador: positivo. Fração: positivo/positivo = positivo. Conclusão: não satisfaz.
  1. Intervalo (3,4). Escolha x=3{,}5.
  • (x-3)=0{,}5 (positivo),
  • (x-4)=-0{,}5 (negativo),
  • (x-1)=2{,}5 (positivo).
    Produto do numerador: positivo × negativo = negativo. Fração: negativo/positivo = negativo. Conclusão: satisfaz.
  1. Intervalo (4,\infty). Escolha x=5.
  • (x-3)=2 (positivo),
  • (x-4)=1 (positivo),
  • (x-1)=4 (positivo).
    Produto do numerador: positivo. Fração: positivo/positivo = positivo. Conclusão: não satisfaz.

Passo 6

Tratar os pontos críticos:
  • x=1 está fora do domínio (denominador zero), então não pode ser incluído.
  • x=3 e x=4 anulam o numerador, fazendo a expressão \frac{(x-3)(x-4)}{x-1} igual a 0. Como a inequação é estrita “<0”, pontos em que a expressão vale 0 não satisfazem a desigualdade. (Isso corresponde, no original, a \dfrac{x^{2}-6x+11}{x-1}=1 em x=3 e x=4.)
Portanto os intervalos que satisfazem a inequação são exatamente aqueles onde encontramos sinal negativo: (-\infty,1) e (3,4).

Passo 7

Verificação rápida com exemplos numéricos:
  • Para x=0 (está em (-\infty,1)): \dfrac{0-0+11}{-1}= -11<1 (verdadeiro).
  • Para x=3{,}5 (está em (3,4)): calcular \dfrac{(3{,}5)^2-6\cdot3{,}5+11}{3{,}5-1} dá um valor menor que 1 (confirmação do teste de sinal).

Resposta

(-\infty,1)\cup(3,4)

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