(UF-PB) Simplificando a expressão \frac{\left(2^{x+2}\right)^{2}}{2^{5}\left(2^{x-3}\right)^{2}}, obtém-se:
a) 32
b) 2^{x^{2}+4}
c) 2^{5 x^{2}-45}
d) 2^{10 x-10}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{\left(2^{x+2}\right)^{2}}{2^{5}\left(2^{x-3}\right)^{2}} e escolher a resposta correta entre as alternativas fornecidas:
a) 32
b) 2^{x^{2}+4}
c) 2^{5 x^{2}-45}
d) 2^{10 x-10}
Informações dadas: a expressão é a fração \dfrac{\left(2^{x+2}\right)^{2}}{2^{5}\left(2^{x-3}\right)^{2}}. O objetivo é simplificá-la usando propriedades de potências.

Passo 2

Regra importante (aula rápida): a potência de uma potência. Para quaisquer números/base a e expoentes m,n vale
(a^{m})^{n} = a^{m n}.
Significa que quando se eleva uma potência a outra potência, multiplicam-se os expoentes. Exemplo concreto: (2^{3})^{2} = 2^{3\cdot 2} = 2^{6} = 64.

Passo 3

Aplicando essa regra ao numerador \left(2^{x+2}\right)^{2}:
\left(2^{x+2}\right)^{2} = 2^{2(x+2)} = 2^{2x+4}.

Passo 4

Agora o denominador tem um produto 2^{5}\left(2^{x-3}\right)^{2}. Primeiro aplicar a mesma regra ao segundo fator:
\left(2^{x-3}\right)^{2} = 2^{2(x-3)} = 2^{2x-6}.
Então o denominador vira 2^{5}\cdot 2^{2x-6}.

Passo 5

Regra de produto de potências com mesma base: para a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}. Aplicando ao denominador:
2^{5}\cdot 2^{2x-6} = 2^{5 + (2x-6)} = 2^{2x-1},
pois 5 + (2x-6) = 2x -1.

Passo 6

Agora temos a fração com mesma base:
\frac{2^{2x+4}}{2^{2x-1}}.
Regra de divisão de potências de mesma base: a^{m}/a^{n} = a^{m-n}. Logo
\frac{2^{2x+4}}{2^{2x-1}} = 2^{(2x+4)-(2x-1)}.

Passo 7

Calcule o expoente:
(2x+4)-(2x-1) = 2x+4-2x+1 = 5.
Portanto a expressão simplificada é
2^{5} = 32.

Resposta

a) 32

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