(PUC-RS) O valor de x na equação x+34 x+ 916 x+cdots=8 é:
a) 6
b) 4
c) 2
d) 1
e) 34

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x tal que a soma infinita
x + 34x + 916x + cdots = 8
seja verdadeira. O conteúdo envolvido é a soma de uma progressão geométrica infinita com primeiro termo a = x e razão r = tfrac34. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=0^infty ar^n = a1-r, para |r|<1

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos
S = x + 34x + 916x + cdots = xsumn=0^inftyl(34r)^n = xcdot11-34
Como 1 - tfrac34 = tfrac14, segue que
S = x cdot 1tfrac14 = 4x

Passo 3

O enunciado diz que essa soma vale 8. Logo,
4x = 8
e, isolando x,
x = 84 = 2

Resposta

c) 2

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