(Puccamp 2000) Num triângulo retângulo e isósceles, a razão entre a medida da hipotenusa e o perímetro, nessa ordem, é
a) \sqrt{ } 2
b) 2 \sqrt{ } 2
c) \sqrt{ } 2+1
d) \sqrt{ } 2-1
e) 2-\sqrt{ } 2

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a hipotenusa e o perímetro de um triângulo que é ao mesmo tempo retângulo e isósceles. Isso envolve usar o Teorema de Pitágoras para achar a hipotenusa e depois montar a expressão do perímetro.

Passo 2

Se os catetos têm comprimento a, pela reta de Pitágoras a hipotenusa vale
\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.
O perímetro é a soma dos três lados, isto é,
a + a + a\sqrt{2} = 2a + a\sqrt{2}.

Passo 3

A razão pedida é
\frac{\text{hipotenusa}}{\text{perímetro}} = \frac{a\sqrt{2}}{2a + a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}.í

Passo 4

Para simplificar \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}, racionalizamos o denominador multiplicando por 2 - \sqrt{2}:
\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}\times\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1.

Resposta

(d) \sqrt{2}-1

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