(Uece 99) A medida, em cm, da diagonal maior de um paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8 cm e o menor ângulo mede 60^{\circ} é igual a:
a) 3 \sqrt{ } 37
b) 2 \sqrt{ } 37
c) \sqrt{ } 37
d) (\sqrt{ } 37) / 2

Passo 1

Temos um paralelogramo cujos lados medem 6 cm e 8 cm, e o menor ângulo interno vale 60^\circ. Queremos a maior diagonal. Em todo paralelogramo, cada diagonal é o lado oposto de um triângulo formado pelos dois lados adjacentes e o ângulo entre eles. Para calcular a diagonal maior, usaremos a Lei dos Cossenos nesse triângulo, aplicando o ângulo agudo 60^\circ.

Passo 2

Sejam a=6, b=8 e \theta=60^\circ. A maior diagonal d_{\max} corresponde ao lado do triângulo oposto a \theta, logo
d_{\max}^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta.
Substituindo,
d_{\max}^2 = 6^2 + 8^2 + 2\cdot6\cdot8\cdot\cos(60^\circ).

Passo 3

Como \cos(60^\circ)=\tfrac12,
d_{\max}^2 = 36 + 64 + 2\cdot6\cdot8\cdot\tfrac12 = 100 + 48 = 148.
Portanto,
d_{\max} = \sqrt{148} = \sqrt{4\cdot37} = 2\sqrt{37}.

Resposta

2\sqrt{37} cm

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