41, (Uff-pism 12016) Uma agência de viagens oferece aos seus primeiros clientes, na primeira semana do ano, trếs pacotes promocionás: Básico, Padrão e Luxo. No regulamento da promoção há uma cláusula que não permite que o cliente que opte por apenas 2 pacotes, simultaneamente, adquira os pacotes Padrão e Luxo. No final da semana, constatou-se que:
  • 37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais’,
  • 13 clientes adquuriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão’,
  • 19 clientes ficaram com apenas um pacote.
A quantidade de clientes que adquiram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo foi de:
(A) 5
(B) 6
(C) 18
(D) 24
(E) 32

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • 37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais.
    • 13 clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão.
    • 19 clientes ficaram com apenas um pacote.
    • Há uma regra: quem optou por exatamente dois pacotes não pode ter escolhido os pacotes Padrão e Luxo ao mesmo tempo (ou seja, não existem clientes que tenham exatamente os dois pacotes Padrão e Luxo).
  • O que o enunciado pede:
    • A quantidade de clientes que adquiriram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo (ou seja, o número de clientes que têm exatamente os dois pacotes Básico e Luxo, sem o Padrão).

Passo 2

Vamos organizar as informações dividindo os clientes em categorias mutuamente exclusivas (faixa por faixa do diagrama de Venn). Denotarei:
  • a = número de clientes que têm apenas o pacote Básico,
  • b = número de clientes que têm apenas o pacote Padrão,
  • c = número de clientes que têm apenas o pacote Luxo,
  • d = número de clientes que têm exatamente os pacotes Básico e Padrão (ou seja, B e P, mas não L),
  • e = número de clientes que têm exatamente os pacotes Básico e Luxo (o que queremos descobrir),
  • f = número de clientes que têm exatamente os pacotes Padrão e Luxo (mas a cláusula do regulamento diz que isto NÃO é permitido para quem escolhe exatamente dois pacotes),
  • t = número de clientes que têm os três pacotes (B, P e L simultaneamente).
Repare que estas sete variáveis correspondem às sete regiões disjuntas do diagrama de Venn para três conjuntos.

Passo 3

Traduzindo os dados em equações usando as variáveis definidas:
  1. “37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes” corresponde à soma de todas as regiões:
a + b + c + d + e + f + t = 37.
  1. “19 clientes ficaram com apenas um pacote” significa:
a + b + c = 19.
  1. “13 clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão” refere-se à interseção B\cap P. Essa interseção inclui tanto quem tem exatamente B e P quanto quem tem os três. Portanto:
d + t = 13.
  1. A cláusula do regulamento impede que alguém com exatamente dois pacotes tenha P e L. Isso implica:
f = 0.
Agora temos as equações que usaremos.

Passo 4

Use as equações para eliminar variáveis e encontrar e.
Partimos da equação da união (1) e substituímos f=0:
a + b + c + d + e + t = 37.
Sabemos por (2) que a + b + c = 19. Substituindo:
19 + d + e + t = 37.
Isolando d + e + t:
d + e + t = 37 - 19 = 18.
Mas pela equação (3) temos d + t = 13. Subtraindo essa igualdade da anterior:
(d + e + t) - (d + t) = 18 - 13.
Isto simplifica para:
e = 5.

Passo 5

Interpretação final: o cálculo acima não precisou conhecer a, b, c nem t individualmente; a informação sobre quantos tinham exatamente um pacote e o total, junto com a interseção B\cap P, já determinam e. O valor obtido e=5 representa o número de clientes que adquiriram exatamente os pacotes Básico e Luxo (sem o Padrão), e está compatível com a cláusula que zera f.

Resposta

5

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