41, (Uff-pism 12016) Uma agência de viagens oferece aos seus primeiros clientes, na primeira semana do ano, trếs pacotes promocionás: Básico, Padrão e Luxo. No regulamento da promoção há uma cláusula que não permite que o cliente que opte por apenas 2 pacotes, simultaneamente, adquira os pacotes Padrão e Luxo. No final da semana, constatou-se que:
- 37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais’,
- 13 clientes adquuriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão’,
- 19 clientes ficaram com apenas um pacote.
A quantidade de clientes que adquiram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo foi de:
(A) 5
(B) 6
(C) 18
(D) 24
(E) 32
(A) 5
(B) 6
(C) 18
(D) 24
(E) 32
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
-
clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais. -
clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão. -
clientes ficaram com apenas um pacote. - Há uma regra: quem optou por exatamente dois pacotes não pode ter escolhido os pacotes Padrão e Luxo ao mesmo tempo (ou seja, não existem clientes que tenham exatamente os dois pacotes Padrão e Luxo).
-
- O que o enunciado pede:
- A quantidade de clientes que adquiriram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo (ou seja, o número de clientes que têm exatamente os dois pacotes Básico e Luxo, sem o Padrão).
Passo 2
Vamos organizar as informações dividindo os clientes em categorias mutuamente exclusivas (faixa por faixa do diagrama de Venn). Denotarei:
-
= número de clientes que têm apenas o pacote Básico, -
= número de clientes que têm apenas o pacote Padrão, -
= número de clientes que têm apenas o pacote Luxo, -
= número de clientes que têm exatamente os pacotes Básico e Padrão (ou seja, B e P, mas não L), -
= número de clientes que têm exatamente os pacotes Básico e Luxo (o que queremos descobrir), -
= número de clientes que têm exatamente os pacotes Padrão e Luxo (mas a cláusula do regulamento diz que isto NÃO é permitido para quem escolhe exatamente dois pacotes), -
= número de clientes que têm os três pacotes (B, P e L simultaneamente).
Repare que estas sete variáveis correspondem às sete regiões disjuntas do diagrama de Venn para três conjuntos.
Passo 3
Traduzindo os dados em equações usando as variáveis definidas:
- “37 clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes” corresponde à soma de todas as regiões:
- “19 clientes ficaram com apenas um pacote” significa:
- “13 clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão” refere-se à interseção
. Essa interseção inclui tanto quem tem exatamente e quanto quem tem os três. Portanto:
- A cláusula do regulamento impede que alguém com exatamente dois pacotes tenha
e . Isso implica:
Agora temos as equações que usaremos.
Passo 4
Use as equações para eliminar variáveis e encontrar
.
Partimos da equação da união (1) e substituímos
:
Sabemos por (2) que
. Substituindo:
Isolando
:
Mas pela equação (3) temos
. Subtraindo essa igualdade da anterior:
Isto simplifica para:
Passo 5
Interpretação final: o cálculo acima não precisou conhecer
,
,
nem
individualmente; a informação sobre quantos tinham exatamente um pacote e o total, junto com a interseção
, já determinam
. O valor obtido
representa o número de clientes que adquiriram exatamente os pacotes Básico e Luxo (sem o Padrão), e está compatível com a cláusula que zera
.
Resposta
5