Question 2 (2.5 pontos)
Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, tomando-se uma partícula presa numa caixa unidimensional
, demonstre uma expressāo para
e calcule o seu valor para a partícula no estado fundamental.
Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, tomando-se uma partícula presa numa caixa unidimensional
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) partir da equação de Schrödinger independente do tempo para a partícula presa numa caixa unidimensional
e demonstrar uma expressão para
; (2) calcular o valor de
quando a partícula está no estado fundamental. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a partícula está confinada num poço infinito entre
e
, ou seja, a energia potencial
para
e
fora desse intervalo; devemos partir da equação de Schrödinger independente do tempo.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo dentro da caixa (onde
):
Aqui
é a função de onda (autofunção) associada à energia
,
é a massa da partícula e
é a constante de Planck reduzida. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, colocamos
onde definimos
Passo 3
A solução geral da EDO é
Agora usamos as condições de contorno da caixa infinita:
(pois fora do poço a função é nula) e
. Da condição
vem
. Então
Da condição
obtemos
, logo
com
. Assim
Passo 4
Normalizando a função de onda, exigimos
. Como
,
onde usei a integral padrão
. Portanto
As autofunções normalizadas são
As energias correspondentes, usando
e
, são
Passo 5
Agora definimos o operador momento unidimensional no espaço de posição:
Assim
. A definição do valor esperado de
em um estado
é
Passo 6
Agora usamos a equação de Schrödinger que relaciona
a
. Da equação do Passo 2 temos, multiplicando por
,
Substituindo isso dentro da integral para
,
Como
está normalizada,
. Portanto obtemos a expressão geral pedida:
Isto é intuitivo: dentro da caixa toda a energia
é cinética, e a energia cinética é
.
Passo 7
Agora calculamos
para o estado fundamental
. Primeiro escrevemos
(do Passo 4):
Usando
com
,
Podemos reescrever esse resultado em termos da constante de Planck
, lembrando
. Então
Portanto o valor de
no estado fundamental é
(equivalente a
).