Question 2 (2.5 pontos)
Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, tomando-se uma partícula presa numa caixa unidimensional (0<x<L), demonstre uma expressāo para \left\langle p^{2}\right\rangle e calcule o seu valor para a partícula no estado fundamental.
\square(2 m E) ; \hbar^{2} / 4 L^{2}
\square(E) ; h^{2} / 2 L^{2}
\square(E / 2 m) ; h^{2} / 4 L^{2}
\square\langle E\rangle ; h^{2} / 4 L^{2}
\square(2 m E) ; h^{2} / 4 L^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) partir da equação de Schrödinger independente do tempo para a partícula presa numa caixa unidimensional 0<x<L e demonstrar uma expressão para \langle p^{2}\rangle; (2) calcular o valor de \langle p^{2}\rangle quando a partícula está no estado fundamental. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a partícula está confinada num poço infinito entre x=0 e x=L, ou seja, a energia potencial V(x)=0 para 0<x<L e V(x)=\infty fora desse intervalo; devemos partir da equação de Schrödinger independente do tempo.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo dentro da caixa (onde V(x)=0):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=E\psi(x).
Aqui \psi(x) é a função de onda (autofunção) associada à energia E, m é a massa da partícula e \hbar é a constante de Planck reduzida. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, colocamos
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0,
onde definimos
k^{2}=\frac{2mE}{\hbar^{2}}.

Passo 3

A solução geral da EDO é
\psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Agora usamos as condições de contorno da caixa infinita: \psi(0)=0 (pois fora do poço a função é nula) e \psi(L)=0. Da condição \psi(0)=0 vem A=0. Então
\psi(x)=B\sin(kx).
Da condição \psi(L)=0 obtemos \sin(kL)=0, logo kL=n\pi com n=1,2,3,\dots. Assim
k=\frac{n\pi}{L}.

Passo 4

Normalizando a função de onda, exigimos \int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2}dx=1. Como \psi(x)=B\sin(n\pi x/L),
\int_{0}^{L}B^{2}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = B^{2}\frac{L}{2}=1,
onde usei a integral padrão \int_{0}^{L}\sin^{2}(n\pi x/L)dx=L/2. Portanto
B=\sqrt{\frac{2}{L}}.
As autofunções normalizadas são
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
As energias correspondentes, usando k^{2}=\dfrac{2mE}{\hbar^{2}} e k=n\pi/L, são
E_{n}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2mL^{2}}.

Passo 5

Agora definimos o operador momento unidimensional no espaço de posição:
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx}.
Assim \hat p^{2} = -\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}. A definição do valor esperado de \hat p^{2} em um estado \psi é
\langle p^{2}\rangle = \int_{0}^{L}\psi^{*}(x)\,\hat p^{2}\,\psi(x)\,dx = \int_{0}^{L}\psi^{*}(x)\left(-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right)\psi(x)\,dx.

Passo 6

Agora usamos a equação de Schrödinger que relaciona -\hbar^{2}\psi'' a 2mE\psi. Da equação do Passo 2 temos, multiplicando por 2m,
-\hbar^{2}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = 2mE\psi.
Substituindo isso dentro da integral para \langle p^{2}\rangle,
\langle p^{2}\rangle = \int_{0}^{L}\psi^{*}(x)\big(2mE\psi(x)\big)\,dx =2mE\int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2}dx.
Como \psi está normalizada, \int_{0}^{L}|\psi|^{2}dx=1. Portanto obtemos a expressão geral pedida:
\boxed{\langle p^{2}\rangle = 2mE.}
Isto é intuitivo: dentro da caixa toda a energia E é cinética, e a energia cinética é \langle \hat T\rangle=\langle \hat p^{2}\rangle/(2m)=E.

Passo 7

Agora calculamos \langle p^{2}\rangle para o estado fundamental n=1. Primeiro escrevemos E_{1} (do Passo 4):
E_{1}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}.
Usando \langle p^{2}\rangle = 2mE com E=E_{1},
\langle p^{2}\rangle_{n=1}=2m\cdot\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{L^{2}}.
Podemos reescrever esse resultado em termos da constante de Planck h, lembrando \hbar=\dfrac{h}{2\pi}. Então
\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{L^{2}}=\frac{\left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^{2}\pi^{2}}{L^{2}} =\frac{h^{2}}{4L^{2}}.
Portanto o valor de \langle p^{2}\rangle no estado fundamental é \dfrac{h^{2}}{4L^{2}} (equivalente a \dfrac{\hbar^{2}\pi^{2}}{L^{2}}).

Resposta

\langle p^{2}\rangle = 2mE
\langle p^{2}\rangle_{n=1} = \dfrac{h^{2}}{4L^{2}}

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