Um pulso triangular se propaga como uma onda para a direita com velocidade v=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A equação do pulso no instante t=0 \mathrm{~s} é dada por
y(x, 0)= \begin{cases}1-|x|, & \text { se }|x| \leq 1 \mathrm{~m}, \\\\ 0, & \text { se }|x|>1 \mathrm{~m} .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá um pulso triangular inicial e diz que ele se propaga para a direita com velocidade v=1\\ \mathrm{m/s}\). As informações úteis são: - A forma inicial no instante \(t=0\) é \[y(x,0)=\begin{cases}1-|x|, & \text{se }|x|\le 1\\ \mathrm{m},\\[4pt]0, & \text{se }|x|>1\\ \mathrm{m}.\end{cases}
  • A velocidade de propagação é v=1\\ \mathrm{m/s}\]. O que o problema pede (implícito): encontrar a expressão da onda \(y(x,t) para tempos t>0, isto é, como a forma inicial evolui quando o pulso se desloca para a direita com velocidade 1\\ \mathrm{m/s}.]

Passo 2

Intuição física e matemática do deslocamento: se uma forma f(\xi) está inicialmente centrada em \xi e se move para a direita com velocidade v, então em coordenadas fixas a forma observada em x no tempo t é a mesma forma avaliada em \xi=x-vt. Em outras palavras, a função se “transporta” sem mudar de forma, apenas é deslocada. Isso é simples de visualizar: pegue um gráfico da função inicial e deslize-o para a direita uma distância vt; o gráfico novo é a função em tempo t.

Passo 3

Aplicando a regra de deslocamento ao nosso caso: defina a forma inicial em termos da variável deslocada \xi\): \[f(\xi)=\begin{cases}1-|\xi|, & \text{se }|\xi|\le 1,\\[4pt]0, & \text{se }|\xi|>1.\end{cases}
Como o pulso se move para a direita com v=1\], substituímos \(\xi=x-vt=x-t. Assim a solução candidata é y(x,t)=f(x-t). Essa substituição garante que em t=0 recuperamos y(x,0)=f(x), que é a condição inicial dada.]

Passo 4

Escrever explicitamente a forma resultante usando a substituição \xi=x-t\). Temos, para todos os \(t\), \[y(x,t)=\begin{cases}1-|x-t|, & \text{se }|x-t|\le 1,\\[4pt]0, & \text{se }|x-t|>1.\end{cases}
Interpretação: em cada tempo t\] o pulso tem suporte (onde \(y\neq 0) no intervalo [t-1,\;t+1] — ou seja, o triângulo inteiro foi deslocado para a direita de 0 para t.]

Passo 5

Para aprender a manipular essa expressão na prova, é útil escrever os dois ramos lineares sem o valor absoluto. Quando |x-t|\le 1 há duas regiões:
  • Se t-1\le x\le t, então x-t\le 0 e |x-t|=t-x. Substituindo,
y(x,t)=1-(t-x)=x-t+1\quad\text{para }t-1\le x\le t.
Isto é uma reta crescente (inclinação +1) que vai de 0 em x=t-1 até 1 em x=t.
  • Se t\le x\le t+1, então x-t\ge 0 e |x-t|=x-t. Substituindo,
y(x,t)=1-(x-t)=-x+t+1\quad\text{para }t\le x\le t+1.
Isto é uma reta decrescente (inclinação -1) que vai de 1 em x=t até 0 em x=t+1.

Passo 6

Resumo prático para a prova (o que decorar/usar): a regra é "pegar a forma inicial e substituir x por x-vt". Aqui v=1, então substitua x por x-t. Use a forma com valor absoluto para escrever rapidamente a resposta, ou desdobre em dois ramos lineares quando precisar calcular valores pontuais (por exemplo, a altura no ponto x num dado t). Observações úteis:
  • Pico do triângulo: está em x=t e tem altura y=1.
  • Suporte (onde a onda não é zero): x\in[t-1,\;t+1].
  • A forma não muda, apenas se desloca.

Resposta

y(x,t)=\begin{cases}1-|x-t|, & \text{se }|x-t|\le 1,\\[4pt]0, & \text{se }|x-t|>1.\end{cases}]

Exercícios relacionados