Uma particula de massa
desliza sem atrito num plano horizontal
com velocidade
(onde
e
correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos
e
, respectivamente). Em um certo instante, a partícula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa
, move-se então com velocidade
. O segundo pedaço, de massa
, move-se com velocidade
.
a) Expresse
em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em tormos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecânica
que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de
.
a) Expresse
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em tormos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecânica
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) encontrar a velocidade
do segundo pedaço após a explosão; (b) expressar a velocidade do centro de massa após a explosão em termos dos vetores unitários
e
; (c) calcular a variação da energia mecânica
causada pela explosão e interpretar o sinal de
.
Dados fornecidos (extraí diretamente do enunciado):
velocidade inicial da partícula inteira
após a explosão as massas dos pedaços são
velocidade do pedaço 1 dada:
velocidade do pedaço 2 é
(a determinar).
Não resolvemos nada ainda; apenas listamos o que foi pedido e os valores conhecidos.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- Num sistema isolado sem forças externas horizontais relevantes, a quantidade de movimento (momento linear) total é conservada mesmo que haja uma explosão interna. Isso porque forças internas não mudam o momento total do sistema.
- Em notação vetorial a conservação do momento é
Aqui
. Se antes havia uma única partícula de massa
com velocidade
e depois há dois pedaços com massas
e velocidades
, então
- Para obter
resolvemos essa equação para :
Vou aplicar isso separando componentes
e
— é a forma mais segura e mecânica de fazer em prova.
Passo 3
Calcular o momento inicial (componentes
e
). Explico como:
- O momento total inicial em
é . - O momento total inicial em
é .
Substituindo os valores:
Passo 4
Calcular o momento do pedaço 1 (componentes) — peguei esses números do enunciado:
Pelo princípio da conservação do momento, o momento do pedaço 2 é a diferença entre o momento inicial e o do pedaço 1:
Agora passo da quantidade de movimento para velocidade do pedaço 2, usando
:
Portanto,
Passo 5
Velocidade do centro de massa (explicação e verificação):
- Regra: a velocidade do centro de massa
de um sistema de massa total é
- Aqui
. Como o momento total é conservado, após a explosão é igual à velocidade inicial da partícula inteira . Vou mostrar com contas:
Calculemos a soma dos momentos finais já obtidos:
Dividindo pela massa total
:
Isto confirma que
, como a conservação do momento garante.
Passo 6
Energia cinética: fórmula e raciocínio didático
- A energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
onde
se trabalharmos em componentes.
- A explosão é uma força interna que normalmente converte energia interna (química, por exemplo) em energia cinética dos fragmentos. O momento se conserva, mas a energia cinética total pode mudar. Queremos
.
Calculemos
:
Passo 7
Calcular as energias cinéticas finais dos pedaços separadamente e somar:
- Para o pedaço 1:
. Então
- Para o pedaço 2:
. Então
Energia cinética total após a explosão:
Agora a variação:
Passo 8
Interpretação física e dica de prova (resumindo num tom amigo):
-
é positiva: isso significa que a energia cinética aumentou em por causa da explosão. Em linguagem simples: alguma energia interna (p.ex. química) foi transformada em energia cinética dos fragmentos. - Dica prática para prova: em problemas de explosão sempre aplicar conservação do momento para obter velocidades, e calcular variação de energia cinética para saber se energia foi liberada (positivo) ou absorvida (negativo). Separe sempre em componentes
— evita erro.
Resposta
a)
\n
b) \n
c) (positivo: energia interna foi convertida em energia cinética)
b)
c)