Uma particula de massa m=24 desliza sem atrito num plano horizontal (x y) com velocidade i_{0}=(30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) i (onde \vec{i} e \vec{j} correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Em um certo instante, a partícula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa 6,0 \mathrm{~kg}, move-se então com velocidade \vec{v}_{1}=(15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i}+(15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{j}. O segundo pedaço, de massa 18,0 \mathrm{~kg}, move-se com velocidade \vec{v}_{2}.
a) Expresse \vec{v}_{2} em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em tormos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecânica \Delta E_{m} que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de \Delta E_{m}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) encontrar a velocidade \vec{v}_{2} do segundo pedaço após a explosão; (b) expressar a velocidade do centro de massa após a explosão em termos dos vetores unitários \vec{i} e \vec{j}; (c) calcular a variação da energia mecânica \Delta E_{m} causada pela explosão e interpretar o sinal de \Delta E_{m}.
Dados fornecidos (extraí diretamente do enunciado):
m=24\\ \mathrm{kg}
velocidade inicial da partícula inteira
\vec{v}_{i}=(30,0)\\ \mathrm{m/s}=30\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}+0\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}
após a explosão as massas dos pedaços são
m_{1}=6{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad m_{2}=18{,}0\\ \mathrm{kg}
velocidade do pedaço 1 dada:
\vec{v}_{1}=(15,15)\\ \mathrm{m/s}=15\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}+15\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}
velocidade do pedaço 2 é \vec{v}_{2} (a determinar).
Não resolvemos nada ainda; apenas listamos o que foi pedido e os valores conhecidos.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Num sistema isolado sem forças externas horizontais relevantes, a quantidade de movimento (momento linear) total é conservada mesmo que haja uma explosão interna. Isso porque forças internas não mudam o momento total do sistema.
  • Em notação vetorial a conservação do momento é
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
Aqui \vec{p} = m\vec{v}. Se antes havia uma única partícula de massa m com velocidade \vec{v}_{i} e depois há dois pedaços com massas m_{1},m_{2} e velocidades \vec{v}_{1},\vec{v}_{2}, então
m\vec{v}_{i}=m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}.
  • Para obter \vec{v}_{2} resolvemos essa equação para \vec{v}_{2}:
\vec{v}_{2}=\frac{m\vec{v}_{i}-m_{1}\vec{v}_{1}}{m_{2}}.
Vou aplicar isso separando componentes x e y — é a forma mais segura e mecânica de fazer em prova.

Passo 3

Calcular o momento inicial (componentes x e y). Explico como:
  • O momento total inicial em x é p_{x,i}=m v_{i,x}.
  • O momento total inicial em y é p_{y,i}=m v_{i,y}.
Substituindo os valores:
p_{x,i}=24\cdot 30=720\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{y,i}=24\cdot 0=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Calcular o momento do pedaço 1 (componentes) — peguei esses números do enunciado:
p_{1x}=m_{1}v_{1x}=6\cdot 15=90\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{1y}=m_{1}v_{1y}=6\cdot 15=90\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Pelo princípio da conservação do momento, o momento do pedaço 2 é a diferença entre o momento inicial e o do pedaço 1:
p_{2x}=p_{x,i}-p_{1x}=720-90=630\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
p_{2y}=p_{y,i}-p_{1y}=0-90=-90\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora passo da quantidade de movimento para velocidade do pedaço 2, usando \vec{p}_{2}=m_{2}\vec{v}_{2}:
v_{2x}=\frac{p_{2x}}{m_{2}}=\frac{630}{18}=35\\ \mathrm{m/s},
v_{2y}=\frac{p_{2y}}{m_{2}}=\frac{-90}{18}=-5\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
\vec{v}_{2}=35\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}-5\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}.

Passo 5

Velocidade do centro de massa (explicação e verificação):
  • Regra: a velocidade do centro de massa \vec{v}_{\text{CM}} de um sistema de massa total M é
\vec{v}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\sum_{k} m_{k}\vec{v}_{k}.
  • Aqui M=m=m_{1}+m_{2}=24\\ \mathrm{kg}. Como o momento total é conservado, \vec{v}_{\text{CM}} após a explosão é igual à velocidade inicial da partícula inteira \vec{v}_{i}. Vou mostrar com contas:
Calculemos a soma dos momentos finais já obtidos:
m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=(90,90)+(630,-90)=(720,0)\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Dividindo pela massa total 24\\ \mathrm{kg}:
\vec{v}_{\text{CM}}=\frac{(720,0)}{24}=(30,0)\\ \mathrm{m/s}=30\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}.
Isto confirma que \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{v}_{i}, como a conservação do momento garante.

Passo 6

Energia cinética: fórmula e raciocínio didático
  • A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade \vec{v} é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2},
onde v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2} se trabalharmos em componentes.
  • A explosão é uma força interna que normalmente converte energia interna (química, por exemplo) em energia cinética dos fragmentos. O momento se conserva, mas a energia cinética total pode mudar. Queremos \Delta E_{m}=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Calculemos K_{\text{inicial}}:
K_{i}=\tfrac{1}{2}m v_{i}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 24\cdot (30^{2}+0^{2})=\tfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 900=12\cdot 900=10800\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular as energias cinéticas finais dos pedaços separadamente e somar:
  • Para o pedaço 1: v_{1}^{2}=15^{2}+15^{2}=225+225=450. Então
K_{1}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 450=3\cdot 450=1350\\ \mathrm{J}.
  • Para o pedaço 2: v_{2}^{2}=35^{2}+(-5)^{2}=1225+25=1250. Então
K_{2}=\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 18\cdot 1250=9\cdot 1250=11250\\ \mathrm{J}.
Energia cinética total após a explosão:
K_{f}=K_{1}+K_{2}=1350+11250=12600\\ \mathrm{J}.
Agora a variação:
\Delta E_{m}=K_{f}-K_{i}=12600-10800=1800\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Interpretação física e dica de prova (resumindo num tom amigo):
  • \Delta E_{m}=+1800\\ \mathrm{J} é positiva: isso significa que a energia cinética aumentou em 1800\\ \mathrm{J} por causa da explosão. Em linguagem simples: alguma energia interna (p.ex. química) foi transformada em energia cinética dos fragmentos.
  • Dica prática para prova: em problemas de explosão sempre aplicar conservação do momento para obter velocidades, e calcular variação de energia cinética para saber se energia foi liberada (positivo) ou absorvida (negativo). Separe sempre em componentes x,y — evita erro.

Resposta

a) \vec{v}_{2}=35\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}-5\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}\n
b) \vec{v}_{\text{CM}}=30\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}\n
c) \Delta E_{m}=1800\\ \mathrm{J} (positivo: energia interna foi convertida em energia cinética)

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