6 Duas ondas senoidais de mesma frequência se propagam no mesmo sentido em uma corda.
Se \mathbf{y m} \mathbf{1} \boldsymbol{=} \mathbf{2 , 5 c m}, \mathbf{y m} \mathbf{2} \boldsymbol{=} \mathbf{6 , 7} \mathbf{c m}, \boldsymbol{\varphi} \mathbf{1}=\mathbf{0}^{\circ} e \boldsymbol{\varphi} \mathbf{2}=\boldsymbol{\pi} \mathbf{2}, Qual é a amplitude da onda resultante, em unidade de \mathbf{c m} ?

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido numa corda e pede a amplitude da onda resultante. As informações fornecidas são:
y_{m1}=2,5\\ \text{cm},
y_{m2}=6,7\\ \text{cm},
\phi_{1}=0^\circ,
\phi_{2}=\frac{\pi}{2}.
A pergunta é: qual é a amplitude da onda resultante, em cm?

Passo 2

Vamos entender o que significa somar duas ondas com mesma frequência. Podemos escrever cada uma como
y_1=A_1\sin(\theta+\phi_1),\qquad y_2=A_2\sin(\theta+\phi_2),
onde A_1 e A_2 são amplitudes ( A_1=y_{m1}, A_2=y_{m2}), \theta representa a parte comum da fase dependente de x e t (por exemplo kx-\omega t) e \phi_1,\phi_2 são as fases iniciais dadas. Quando somamos as duas ondas, a resultante tem a forma
y=y_1+y_2=A\sin(\theta+\varphi),
onde A é a amplitude resultante que queremos achar. Para obter A de forma prática usamos a ideia de adição vetorial de fasores: cada senoide é representada por um vetor (fasor) de comprimento A_i e argumento \phi_i. A magnitude do vetor soma é dada pela lei dos cossenos, que fornece a fórmula:
A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)},
onde definimos \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1. Explicando as variáveis:
  • A é a amplitude da onda resultante (o que queremos),
  • A_1 e A_2 são as amplitudes das ondas individuais,
  • \Delta\varphi é a diferença de fase entre as duas ondas,
  • \cos(\Delta\varphi) captura se a interferência é construtiva ( \cos>0), destrutiva ( \cos<0) ou intermediária ( \cos=0).
Dica prática para prova: memorize essa fórmula. Em casos especiais:
  • se \Delta\varphi=0 então A=A_1+A_2 (interferência totalmente construtiva);
  • se \Delta\varphi=\pi então A=|A_1-A_2| (oposição de fase, destrutiva);
  • se \Delta\varphi=\pi/2 então A=\sqrt{A_1^2+A_2^2} (fasores em quadratura).

Passo 3

Calcule a diferença de fases \Delta\varphi:
\Delta\varphi=\phi_2-\phi_1=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
Como observado antes, \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Isso simplifica a fórmula da amplitude resultante.

Passo 4

Substituímos A_1=y_{m1}=2,5\\ \text{cm} e A_2=y_{m2}=6,7\\ \text{cm} na fórmula com \cos(\Delta\varphi)=0:
A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cdot 0}=\sqrt{A_1^2+A_2^2}.
Calcule os quadrados:
A_1^2=(2,5)^2=6,25,
A_2^2=(6,7)^2=44,89.
Somando:
A^2=6,25+44,89=51,14.
Portanto
A=\sqrt{51,14}\approx 7,151\\ \text{cm}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos A\approx 7,15\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: como as ondas têm diferença de fase \pi/2, elas estão em quadratura e a amplitude resultante é a soma em quadratura das amplitudes individuais (como catetos de um triângulo retângulo). Isso significa que não há soma direta nem cancelamento total, mas energia combinada — por isso o resultado vem da raiz quadrada da soma dos quadrados. Você tá indo bem; decorar a fórmula e os casos especiais te salva na hora da prova.

Resposta

7,15\\ \text{cm}

Exercícios relacionados