O que acontece com a mediana, a média e o desvio padrão de uma série de dados quando:
de cada observação subtrai-se barx e divide-se pelo desvio padrão d p(X) ?

Passo 1

O enunciado pede para padronizar a série de dados, ou seja, transformar cada valor xi em zi = xi - barxdp(X), e então verificar o que acontece com a média, o desvio padrão e a mediana dessa nova série.

Passo 2

Para a média, note que
barz = 1n sumi=1^n zi = 1n sumi=1^n xi - barxdp(X) = 1dp(X) l(1n sumi=1^n (xi - barx)r)
Mas sumi=1^n (xi - barx) = 0, logo barz = 0.

Passo 3

Para o desvio padrão, usamos a definição
dp(Z) = raiz1n sumi=1^n (zi - barz)^2 = raiz1n sumi=1^n zi^2,
já que barz=0. Mas
zi^2 = l(xi - barxdp(X)r)^2
então
dp(Z) = 1dp(X) raiz1n sumi=1^n (xi - barx)^2 = dp(X)dp(X) = 1

Passo 4

Para a mediana, como a mediana é um estatístico de posição, ela também sofre a mesma transformação afim de subtração e divisão. Se mX é a mediana original, a mediana padronizada é
mZ = mX - barxdp(X)

Resposta

A média fica 0, o desvio padrão fica 1 e a mediana passa a ser (mediana original - barx)/dp(X).

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